Questão 2 ( 25 pontos)
(a) Calcule lim x 0^+ x ln (x).
(b) Determine os pontos onde a função
f(x)= sen(x) & se x <= 0 x ln (x) & se 0<x <= 1 sen(x-1) & se x>1
é não derivável.

Passo 1

O enunciado pede dois itens:
(a) calcular limxto0^+xln(x), que é um limite do tipo “ 0cdot(-infty)”;
(b) determinar onde a função
f(x)= sin(x),&x<=0, xln(x),&0<x<=1, sin(x-1),&x>1
é não derivável. Vamos usar técnicas de cálculo de limite e os testes de derivabilidade nas fronteiras das peças.

Passo 2

Para achar L=limxto0^+xln(x) reescrevemos como quociente:
xln(x)=ln(x)1/x
Ao xto0^+, ln(x)to-infty e 1/xto+infty, então aplicamos a regra de L’Hôpital:
L =limxto0^+ln(x)1/x =limxto0^+ddxln(x)ddx(1/x) =limxto0^+1/x-1/x^2 =limxto0^+(-x) =0

Passo 3

Dentro de cada intervalo aberto (i.e.\ x<0, 0<x<1, x>1) as funções sin(x), xln(x) e sin(x-1) são todas diferenciáveis. Logo, potenciais pontos de não derivabilidade só podem ocorrer nas fronteiras x=0 e x=1.

Passo 4

Verificamos x=0. Primeiro, f(0)=sin(0)=0.
Derivada à esquerda:
f'-(0)=limhto0^-sin(h)-0h =limhto0^-sin(h)h=1
Derivada à direita:
f'+(0)=limhto0^+hln(h)-0h =limhto0^+ln(h)=-infty
Como f'-(0)neq f'+(0) (nem mesmo é finita a direita), f não é derivável em x=0.

Passo 5

Verificamos x=1. Primeiro,
f(1)=1cdotln(1)=0, limxto1^+sin(x-1)=sin(0)=0,
logo f é contínua em 1.
Derivada à esquerda (de xln(x)):
f'-(1)=l[ln(x)+1r]x=1 =0+1=1
Derivada à direita (de sin(x-1)):
f'+(1)=cos(1-1)=cos(0)=1
Como f'-(1)=f'+(1), f é derivável em x=1.

Resposta

(a) 0
(b) A única não derivabilidade ocorre em x=0.

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