Sobre a f(x, y)=yx, marque a única alternativa verdadeira.
Existe u unitário para o qual Du f(1,1)=3.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=yx
e pergunta se existe um vetor unitário u tal que a derivada direcional de f em (1,1) na direção u seja igual a 3. O conteúdo envolvido é o conceito de gradiente e derivada direcional, sabendo que
Duf(1,1)=nabla f(1,1)cdot u
com |u|=1.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x(x,y) = -yx^2, partial fpartial y(x,y) = 1x
Logo o gradiente é
nabla f(x,y) = l(-yx^2,,1xr)

Passo 3

Avalia-se o gradiente em (1,1):
nabla f(1,1) = l(-1,,1r)
Para qualquer vetor unitário u=(u1,u2), vale
Duf(1,1) = nabla f(1,1)cdot u = -1cdot u1 + 1cdot u2
Pelo Desigualdade de Cauchy–Schwarz,
l|Duf(1,1)r| <= |nabla f(1,1)|;|u| = raiz(-1)^2+1^2;=raiz2approx1,4142

Passo 4

Como raiz2<3, não é possível que Duf(1,1) atinja o valor 3 para nenhum vetor unitário u.

Resposta

Não existe vetor unitário u tal que Duf(1,1)=3.

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