Resolva os PVIs dados e determine o maior intervalo I sobre o qual a solução está definida.
ly^prime-(sen x) y=2 sen x y(pi / 2)=1

Passo 1

O enunciado é um PVI de equação diferencial linear de primeira ordem:
y' - sin x,y = 2sin x,
com condição inicial y(tfracpi2)=1. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Identificamos p(x) e q(x) na forma padrão y'+p(x)y=q(x):
p(x)=-sin x, q(x)=2sin x
O fator integrante é
mu(x)=expl(integral p(x),dxr) =expl(integral -sin x,dxr) =expl(cos xr)

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(x), obtemos
ddxl(e^cos xyr) =e^cos xcdot2sin x
Integramos ambos os lados:
e^cos xy =integral 2e^cos xsin x,dx
Fazendo u=cos x, du=-sin x,dx, temos
integral 2e^cos xsin x,dx =integral -2e^u,du =-2e^u + C =-2e^cos x+C
Logo
e^cos xy=-2e^cos x+C

Passo 4

Isolando y,
y=-2 + C,e^-cos x
Usando y(tfracpi2)=1 e cos(tfracpi2)=0, vem
1=-2 + Ccdot e^0 Rightarrow C=3
Portanto
y(x)=-2+3e^-cos x

Passo 5

A solução é expressa por y(x)=-2+3e^-cos x, que é contínua para todo xinR. Portanto o maior intervalo de definição é
I = (-infty,infty)

Resposta

y(x)=-2+3e^-cos x, I=R

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