2^a Questão:(25 pontos) Calcule a derivada de f, onde:
f(x)=x e^-5 x

Passo 1

Vamos calcular a derivada de f(x)=x,e^-5x. O que precisamos é usar a regra do produto para derivadas e, dentro dela, aplicar a regra da cadeia ao termo exponencial e^-5x.

Passo 2

Na regra do produto, se f(x)=u(x),v(x) então
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
Aqui escolhemos
u(x)=x, v(x)=e^-5x

Passo 3

Derivando u(x)=x temos
u'(x)=1,
logo a primeira parcela é
u'(x),v(x)=1cdot e^-5x=e^-5x

Passo 4

Para derivar v(x)=e^-5x usamos a regra da cadeia: se v(x)=e^g(x) então
v'(x)=g'(x),e^g(x)
Aqui g(x)=-5x e g'(x)=-5, portanto
v'(x)=-5,e^-5x,
e a segunda parcela fica
u(x),v'(x)=xcdot(-5,e^-5x)=-5x,e^-5x

Passo 5

Somando as duas parcelas obtemos
f'(x)=e^-5x-5x,e^-5x
Para simplificar, fatoramos e^-5x:
f'(x)=e^-5x,(1-5x)

Resposta

f'(x)=e^-5x,(1-5x)

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