Toda função contínua definida em [a, b] tem ponto de máximo e de mínimo. Use os 3 exercícios anteiores para descrever uma estratégia para encontrar os pontos de máximo e mínimo desta função.
6) Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado [a, b]. Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo ( a, b ), determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas. (veja Vídeo 4)
(a) f(x)=x^3-3 x^2, x in[-1,4]
(b) g(x)=3 x^5-5 x^3+12, x in[0,2]
(c) f(y)=1-|y-1|, y in[0,2]
(d) h(x)=raiz[3]x, x in[-1,8]
(e) g(y)=raiz4-y^2, y in[-2,1]
(f) s(t)=t e^-t, t in[0,2]
(g) f(x)=ln (1+x), x in[0,3]
(h) v(t)=e^-t^2, t in[-4,3]

Passo 1

O enunciado pede para, em cada função contínua em um intervalo fechado [a,b], encontrar os pontos de máximo e mínimo globais. O conteúdo usado é o Teorema do Valor Extremo, que afirma que toda função contínua em [a,b] atinge mínimo e máximo. Para isso, vamos precisar:
  1. Calcular a derivada f'.
  2. Encontrar pontos críticos em (a,b) onde f'=0 ou f' não existe.
  3. Avaliar a função nos pontos críticos e nos extremos a e b.
  4. Comparar os valores obtidos para determinar o mínimo e o máximo global.

Passo 2

Estratégia geral para cada função:
  1. Determine f'(x) e ache as raízes ou pontos onde f' não existe, restringindo-os a (a,b).
  2. Liste todos os candidatos a extremos: pontos críticos e os pontos x=a e x=b.
  3. Calcule f em cada candidato.
  4. O menor valor encontrado será o mínimo global e o maior será o máximo global.

Passo 3

Para f(x)=x^3-3x^2, xin[-1,4]:
  1. f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2), pontos críticos x=0,2.
  2. Candidatos: -1,0,2,4.
  3. Avaliações:
f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2=-1-3=-4,
f(0)=0, f(2)=8-12=-4, f(4)=64-48=16
  1. Mínimo global f=-4 em x=-1,2; máximo global f=16 em x=4.

Passo 4

Para g(x)=3x^5-5x^3+12, xin[0,2]:
  1. g'(x)=15x^4-15x^2=15x^2(x^2-1), pontos críticos x=0,1,-1, mas em [0,2] 0,1.
  2. Candidatos: 0,1,2.
  3. Avaliações:
g(0)=12, g(1)=3-5+12=10, g(2)=96-40+12=68
  1. Mínimo global g=10 em x=1; máximo global g=68 em x=2.

Passo 5

Para f(y)=1-|y-1|, yin[0,2]:
  1. A função é piecewise: para y<1, f(y)=y; para y>1, f(y)=2-y. Derivada existe e vale 1 em (0,1) e -1 em (1,2), não existe em y=1.
  2. Candidatos: y=0,1,2.
  3. Avaliações:
f(0)=1-1=0, f(1)=1, f(2)=1-1=0
  1. Mínimo global f=0 em y=0,2; máximo global f=1 em y=1.

Passo 6

Para h(x)=raiz[3]x=x^1/3, xin[-1,8]:
  1. h'(x)=tfrac13x^-2/3, indefinida em x=0. Ponto crítico: x=0.
  2. Candidatos: -1,0,8.
  3. Avaliações:
h(-1)=-1, h(0)=0, h(8)=2
  1. Mínimo global h=-1 em x=-1; máximo global h=2 em x=8.

Passo 7

Para g(y)=raiz4-y^2=(4-y^2)^1/2, yin[-2,1]:
  1. g'(y)=-tfracyraiz4-y^2, zero em y=0.
  2. Candidatos: -2,0,1.
  3. Avaliações:
g(-2)=0, g(0)=2, g(1)=raiz3
  1. Mínimo global g=0 em y=-2; máximo global g=2 em y=0.

Passo 8

Para s(t)=te^-t, tin[0,2]:
  1. s'(t)=e^-t(1-t), zero em t=1.
  2. Candidatos: 0,1,2.
  3. Avaliações:
s(0)=0, s(1)=tfrac1e, s(2)=tfrac2e^2
  1. Mínimo global s=0 em t=0; máximo global s=tfrac1e em t=1.

Passo 9

Para f(x)=ln(1+x), xin[0,3]:
  1. f'(x)=tfrac11+x>0 em todo o intervalo, sem pontos críticos internos.
  2. Candidatos: 0,3.
  3. Avaliações:
f(0)=0, f(3)=ln4
  1. Mínimo global f=0 em x=0; máximo global f=ln4 em x=3.

Passo 10

Para v(t)=e^-t^2, tin[-4,3]:
  1. v'(t)=-2te^-t^2, zero em t=0.
  2. Candidatos: -4,0,3.
  3. Avaliações:
v(-4)=e^-16, v(0)=1, v(3)=e^-9
  1. Mínimo global v=e^-16 em t=-4; máximo global v=1 em t=0.

Resposta

(a) Mínimo f=-4 em x=-1,2; Máximo f=16 em x=4.
(b) Mínimo g=10 em x=1; Máximo g=68 em x=2.
(c) Mínimo f=0 em y=0,2; Máximo f=1 em y=1.
(d) Mínimo h=-1 em x=-1; Máximo h=2 em x=8.
(e) Mínimo g=0 em y=-2; Máximo g=2 em y=0.
(f) Mínimo s=0 em t=0; Máximo s=tfrac1e em t=1.
(g) Mínimo f=0 em x=0; Máximo f=ln4 em x=3.
(h) Mínimo v=e^-16 em t=-4; Máximo v=1 em t=0.

Exercícios relacionados