Toda função contínua definida em
tem ponto de máximo e de mínimo. Use os 3 exercícios anteiores para descrever uma estratégia para encontrar os pontos de máximo e mínimo desta função.
6) Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado
. Depois de encontrar os pontos críticos da função no intervalo (
), determine os pontos de máximo e mínimo (global) de cada uma delas. (veja Vídeo 4)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
6) Em cada um dos itens abaixo, é dada uma função definida em um intervalo fechado
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Passo 1
O enunciado pede para, em cada função contínua em um intervalo fechado
, encontrar os pontos de máximo e mínimo globais. O conteúdo usado é o Teorema do Valor Extremo, que afirma que toda função contínua em
atinge mínimo e máximo. Para isso, vamos precisar:
- Calcular a derivada
. - Encontrar pontos críticos em
onde ou não existe. - Avaliar a função nos pontos críticos e nos extremos
e . - Comparar os valores obtidos para determinar o mínimo e o máximo global.
Passo 2
Estratégia geral para cada função:
- Determine
e ache as raízes ou pontos onde não existe, restringindo-os a . - Liste todos os candidatos a extremos: pontos críticos e os pontos
e . - Calcule
em cada candidato. - O menor valor encontrado será o mínimo global e o maior será o máximo global.
Passo 3
Para
,
:
-
, pontos críticos . - Candidatos:
. - Avaliações:
- Mínimo global
em ; máximo global em .
Passo 4
Para
,
:
-
, pontos críticos , mas em só . - Candidatos:
. - Avaliações:
- Mínimo global
em ; máximo global em .
Passo 5
Para
,
:
- A função é piecewise: para
, ; para , . Derivada existe e vale em e em , não existe em . - Candidatos:
. - Avaliações:
- Mínimo global
em ; máximo global em .
Passo 6
Para
,
:
-
, indefinida em . Ponto crítico: . - Candidatos:
. - Avaliações:
- Mínimo global
em ; máximo global em .
Passo 7
Para
,
:
-
, zero em . - Candidatos:
. - Avaliações:
- Mínimo global
em ; máximo global em .
Passo 8
Para
,
:
-
, zero em . - Candidatos:
. - Avaliações:
- Mínimo global
em ; máximo global em .
Passo 9
Para
,
:
-
em todo o intervalo, sem pontos críticos internos. - Candidatos:
. - Avaliações:
- Mínimo global
em ; máximo global em .
Passo 10
Para
,
:
-
, zero em . - Candidatos:
. - Avaliações:
- Mínimo global
em ; máximo global em .
Resposta
(a) Mínimo
em
; Máximo
em
.
(b) Mínimo em
; Máximo
em
.
(c) Mínimo em
; Máximo
em
.
(d) Mínimo em
; Máximo
em
.
(e) Mínimo em
; Máximo
em
.
(f) Mínimo em
; Máximo
em
.
(g) Mínimo em
; Máximo
em
.
(h) Mínimo em
; Máximo
em
.
(b) Mínimo
(c) Mínimo
(d) Mínimo
(e) Mínimo
(f) Mínimo
(g) Mínimo
(h) Mínimo