Questão 3 [25 pontos] Calcule \oint_{C} F \cdot d r, onde F(x, y, z)=\left(y^{2}+z, y^{2}+1, y+\ln \left(1+z^{2}\right)\right), e C é a curva parametrizada por \alpha(t)=(2 \cos t, 2 \operatorname{sen} t, 10-2 \operatorname{sen} t), 0 \leq t \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha fechada
\oint_{C}F\cdot d r
onde
F(x,y,z)=\bigl(y^{2}+z,\;y^{2}+1,\;y+\ln\bigl(1+z^{2}\bigr)\bigr)
e C é dada pela parametrização
\alpha(t)=(2\cos t,\;2\operatorname{sen} t,\;10-2\operatorname{sen} t),\quad 0\le t\le2\pi.
O conteúdo aqui é aplicar a fórmula
\oint_{C}F\cdot d r=\int_{0}^{2\pi}F\bigl(\alpha(t)\bigr)\cdot\alpha'(t)\,dt,
calculando \alpha'(t), avaliando F em \alpha(t) e fazendo o produto escalar.

Passo 2

Primeiro calculamos
\alpha'(t)=(-2\operatorname{sen} t,\;2\cos t,\;-2\cos t).
Em seguida, em \alpha(t) temos
y=2\operatorname{sen} t,\quad z=10-2\operatorname{sen} t,\quad y^{2}=4\operatorname{sen}^{2}t.
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F\bigl(\alpha(t)\bigr)=\bigl(4\operatorname{sen}^{2}t+(10-2\operatorname{sen} t),\;4\operatorname{sen}^{2}t+1,\;2\operatorname{sen} t+\ln\bigl(1+(10-2\operatorname{sen} t)^{2}\bigr)\bigr).
Fazendo o produto escalar
F\bigl(\alpha(t)\bigr)\cdot\alpha'(t) =-2\bigl[4\operatorname{sen}^{2}t+(10-2\operatorname{sen} t)\bigr]\operatorname{sen} t +2\bigl[4\operatorname{sen}^{2}t+1 -\bigl(2\operatorname{sen} t+\ln(1+(10-2\operatorname{sen} t)^{2})\bigr)\bigr]\cos t.

Passo 3

Escrevemos a integral como soma de duas
I=\int_{0}^{2\pi}F\bigl(\alpha(t)\bigr)\cdot\alpha'(t)\,dt =I_{1}+I_{2},
com
I_{1}=-2\int_{0}^{2\pi}\bigl(4\operatorname{sen}^{2}t+10-2\operatorname{sen} t\bigr)\operatorname{sen} t\,dt, \quad I_{2}=2\int_{0}^{2\pi}\bigl[4\operatorname{sen}^{2}t+1-2\operatorname{sen} t-\ln\bigl(1+(10-2\operatorname{sen} t)^{2}\bigr)\bigr]\cos t\,dt.

Passo 4

Para I_{1} expandimos o integrando:
(4\sin^{2}t+10-2\sin t)\sin t =4\sin^{3}t+10\sin t-2\sin^{2}t.
Como \int_{0}^{2\pi}\sin^{3}t\,dt=0 e \int_{0}^{2\pi}\sin t\,dt=0,
I_{1}=-2\Bigl[\,0+0-2\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\,dt\Bigr] =-2\bigl[-2\cdot\pi\bigr]=4\pi.

Passo 5

Para I_{2} note que é da forma
2\int_{0}^{2\pi}f(\operatorname{sen} t)\cos t\,dt.
Fazendo a substituição u=\operatorname{sen} t, du=\cos t\,dt, os limites vão de u(0)=0 a u(2\pi)=0, o que torna
I_{2}=2\int_{u=0}^{0}f(u)\,du=0.

Passo 6

Somando as partes,
\oint_{C}F\cdot d r=I_{1}+I_{2}=4\pi+0=4\pi.

Resposta

4\pi

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