2{ }^{\underline{\mathrm{a}}} Questão (25 pontos):
Calcule
\iint_{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d A, onde R é região superior do plano x y,(z \geq 0) limitada pelas curvas x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dA,
onde R é a região do plano limitada pelos círculos x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4.
O conteúdo é mudança para coordenadas polares, pois a região e a função são circulares.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
de modo que
\sqrt{x^2+y^2}=r \quad\text{e}\quad dA = r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Na região R o raio varia de r=1 até r=2 e o ângulo de \theta=0 a \theta=2\pi. A integral vira
\iint_{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dA =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{1}^{2}r\;(r\,dr\,d\theta) =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{1}^{2}r^{2}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calcular primeiro a integral em r:
\int_{1}^{2}r^{2}\,dr =\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{1}^{2} =\frac{8}{3}-\frac{1}{3} =\frac{7}{3}.

Passo 5

Agora integrar em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\frac{7}{3}\,d\theta =\frac{7}{3}\bigl[\,\theta\,\bigr]_{0}^{2\pi} =\frac{7}{3}\cdot2\pi =\frac{14\pi}{3}.

Resposta

\frac{14\pi}{3}.

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