4^a Questão:(25 pontos)
Considere
f(x)=x^3-x^2-x+1
Calcule f^prime(x) e f^prime prime(x). Use o teste da segunda derivada para caracterizar os pontos críticos de f quanto máximos/mínimos locais.

Passo 1

O enunciado define a função f(x)=x^3 - x^2 - x + 1 e pede que calculemos as derivadas primeira e segunda, f'(x) e f''(x), e em seguida usemos o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos quanto a máximos ou mínimos.

Passo 2

Para obter f'(x), aplicamos a regra do poder a cada termo da função. Assim, derivando termo a termo, temos
f'(x) = 3x^2 - 2x - 1
Em seguida, derivamos f'(x) para encontrar a segunda derivada:
f''(x) = 6x - 2

Passo 3

Os pontos críticos satisfazem f'(x)=0. Primeiro escrevemos a equação:
3x^2 - 2x - 1 = 0
Pela fórmula de Bhaskara,
x = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 3 cdot (-1)2 cdot 3 = 2 pm 46
Logo,
x = 1 ou x = -tfrac13.

Passo 4

Aplicamos o teste da segunda derivada, avaliando f''(x) em cada ponto crítico.
f''(1) = 6cdot1 - 2 = 4
Como f''(1)>0, concluímos que em x=1 há um mínimo local.
f''l(-tfrac13r) = 6cdotl(-tfrac13r) - 2 = -4
Como f''(-tfrac13)<0, concluímos que em x=-tfrac13 há um máximo local.

Resposta

f'(x) = 3x^2 - 2x - 1 f''(x) = 6x - 2
Pontos críticos:
x = -tfrac13, máximo local
x = 1, mínimo local

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