Questão:(25 pontos)
Considere
Calcule
e
. Use o teste da segunda derivada para caracterizar os pontos críticos de
quanto máximos/mínimos locais.
Considere
Passo 1
O enunciado define a função
e pede que calculemos as derivadas primeira e segunda,
e
, e em seguida usemos o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos quanto a máximos ou mínimos.
Passo 2
Para obter
, aplicamos a regra do poder a cada termo da função. Assim, derivando termo a termo, temos
Em seguida, derivamos
para encontrar a segunda derivada:
Passo 3
Os pontos críticos satisfazem
. Primeiro escrevemos a equação:
Pela fórmula de Bhaskara,
Logo,
ou
.
Passo 4
Aplicamos o teste da segunda derivada, avaliando
em cada ponto crítico.
Como
, concluímos que em
há um mínimo local.
Como
, concluímos que em
há um máximo local.
Resposta
Pontos críticos: