3^a Questão:(25 pontos) Seja f uma função diferenciável em x tal que ( x, f(x) ) é solução de
x y^2-sen(x+y)=0,
para todos os pontos x do domínio de f. Então, a reta tangente ao gráfico de f em (0,0) é:
(a) y=-3 x (b) y=-2 x+2 (c) y=x (d) y=2 x (e) y=-x.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva definida implicitamente por
x,y^2-sin(x+y)=0
e pede a reta tangente ao gráfico de f em (0,0). Para isso precisamos calcular a derivada y'=f'(x) por diferenciação implícita e avaliar em x=0.

Passo 2

Primeiro confirmamos que (0,0) pertence à curva. Substituindo x=0 e y=0 em
x,y^2-sin(x+y)=0Longrightarrow0cdot0^2-sin(0+0)=0-0=0,
logo (0,0) está de fato na curva.

Passo 3

Agora derivamos implicitamente ambos os lados de
x,y^2-sin(x+y)=0
em relação a x. Usando regra do produto e regra da cadeia,
ddx(x,y^2)-ddxl(sin(x+y)r)=0
y^2+xcdot2y,y' - cos(x+y),(1+y')=0

Passo 4

Reorganizando para isolar y',
y^2+2x,y,y' -cos(x+y) -cos(x+y),y'=0 Longrightarrow y'l(2x,y-cos(x+y)r)=cos(x+y)-y^2,
portanto
y'=cos(x+y)-y^22x,y-cos(x+y)

Passo 5

Avaliamo em (x,y)=(0,0):
cos(0+0)-0^2=1, 2cdot0cdot0-cos(0+0)=-1,
logo
y'(0)=1-1=-1

Passo 6

A reta tangente em (0,0) tem equação y=y'(0),x+ b. Como passa por (0,0), temos b=0, logo
y=-x

Resposta

(e) y=-x

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