Questão:(25 pontos) Seja
uma função diferenciável em
tal que (
) é solução de
para todos os pontos
do domínio de
. Então, a reta tangente ao gráfico de
em
é:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
.
(a)
Passo 1
O enunciado nos dá a curva definida implicitamente por
e pede a reta tangente ao gráfico de
em
. Para isso precisamos calcular a derivada
por diferenciação implícita e avaliar em
.
Passo 2
Primeiro confirmamos que
pertence à curva. Substituindo
e
em
logo
está de fato na curva.
Passo 3
Agora derivamos implicitamente ambos os lados de
em relação a
. Usando regra do produto e regra da cadeia,
Passo 4
Reorganizando para isolar
,
portanto
Passo 5
Avaliamo em
:
logo
Passo 6
A reta tangente em
tem equação
. Como passa por
, temos
, logo
Resposta
(e)