Questão 4 (25 pontos)
Considere a função h(x)=1 / x-x^3 com x>0.
(a) Mostre que h é inversível.
(b) Determine h^-1(0) e (h^-1)^prime(0).
(c) Mostre que existe y0<0 tal que h^-1(y0)=3 / 2 (sugestão: mostre que h^-1(-15 / 2)=2 ).

Passo 1

O enunciado define a função
hcolon(0,infty)toR, h(x)=1x - x^3
e pede três coisas:
(a) mostrar que h é inversível;
(b) achar h^-1(0) e l(h^-1r)'(0);
(c) mostrar que existe y0<0 tal que h^-1(y0)=3/2, sugerindo usar o valor h^-1(-15/2)=2.
Conteúdo envolvido: monotonicidade e teorema da inversa (derivada da inversa), além do teorema do valor intermediário para funções contínuas.

Passo 2

Para provar que h é inversível, basta ver que ela é estritamente monotônica e contínua em (0,infty). Calculamos a derivada:
h'(x) = -1x^2 - 3x^2
Como cada termo é negativo em x>0, obtemos
h'(x)<0forall x>0,
logo h é estritamente decrescente e, por ser contínua, é bijetora de (0,infty) em seu contradomínio — ou seja, tem inversa.

Passo 3

Para achar h^-1(0), resolvemos
h(x)=0 Long<=ftrightarrow 1x - x^3 = 0 Long<=ftrightarrow x^4 = 1
Como x>0, a única solução é x=1. Assim
h^-1(0)=1
Para l(h^-1r)'(0) usamos a fórmula
l(h^-1r)'(y) = 1h'l(h^-1(y)r)
Logo em y=0, como h^-1(0)=1 e h'(1)=-1-3=-4, vem
l(h^-1r)'(0) =1h'(1) =1-4 =-tfrac14

Passo 4

Vamos usar a sugestão: calculemos
h(2)=12-2^3=12-8=-152
Isso significa
h^-1!l(-tfrac152r)=2
Agora, como h^-1 é contínua e decrescente, note que
h^-1!l(-tfrac152r)=2> tfrac32 e h^-1(0)=1<tfrac32
Pelo teorema do valor intermediário aplicado à função contínua h^-1 no intervalo l[-tfrac152,0r], existe y0inl(-tfrac152,0r) tal que
h^-1(y0)=tfrac32
Isso conclui a parte (c), com y0<0.

Resposta

(a) h é estritamente decrescente ( h'(x)<0), logo inversível.
(b) h^-1(0)=1 e l(h^-1r)'(0)=-tfrac14.
(c) Como h^-1(-tfrac152)=2>tfrac32 e h^-1(0)=1<tfrac32, existe y0in(-tfrac152,0) tal que h^-1(y0)=tfrac32.

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