Questão 4 (25 pontos)
Considere a função
.
(a) Mostre que
é inversível.
(b) Determine
e
.
(c) Mostre que existe
tal que
(sugestão: mostre que
).
Considere a função
(a) Mostre que
(b) Determine
(c) Mostre que existe
Passo 1
O enunciado define a função
e pede três coisas:
(a) mostrar que é inversível;
(b) achar e
;
(c) mostrar que existe tal que
, sugerindo usar o valor
.
(a) mostrar que
(b) achar
(c) mostrar que existe
Conteúdo envolvido: monotonicidade e teorema da inversa (derivada da inversa), além do teorema do valor intermediário para funções contínuas.
Passo 2
Para provar que
é inversível, basta ver que ela é estritamente monotônica e contínua em
. Calculamos a derivada:
Como cada termo é negativo em
, obtemos
logo
é estritamente decrescente e, por ser contínua, é bijetora de
em seu contradomínio — ou seja, tem inversa.
Passo 3
Para achar
, resolvemos
Como
, a única solução é
. Assim
Para
usamos a fórmula
Logo em
, como
e
, vem
Passo 4
Vamos usar a sugestão: calculemos
Isso significa
Agora, como
é contínua e decrescente, note que
Pelo teorema do valor intermediário aplicado à função contínua
no intervalo
, existe
tal que
Isso conclui a parte (c), com
.
Resposta
(a)
é estritamente decrescente (
), logo inversível.
(b) e
.
(c) Como e
, existe
tal que
.
(b)
(c) Como