QUESTÃO No. 2 (25 pontos)

Usando a definição de transformada de Laplace de uma função, encontre \mathcal{L}\left[t^{n}\right], onde n=1,2,3, \ldots.
No seu desenvolvimente pode assumir válidos os seguintes 2 resultados vistos em aula:
\begin{aligned} \lim _{t \rightarrow+\infty} t^{m} e^{-s t} & =0, & & \text { para } \mathrm{m}=0,1,2,3, \ldots \text { e para } \operatorname{Re}(s)>0 \\\ \mathcal{L}[1] & =\frac{1}{s}, & & \text { para } \operatorname{Re}(s)>0 \end{aligned}
e é permitido usar a fórmula da definição de \mathcal{L}[f(t)] dada no formulário mas nenhuma outra fórmula ou propriedade que apareçam no mesmo.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se encontrar \mathcal{L}\!\left[t^{n}\right] para n=1,2,3,\ldots.
  • É permitido usar a definição da transformada de Laplace e os dois resultados dados:
    • \displaystyle \lim_{t\to+\infty} t^{m} e^{-s t}=0, para m=0,1,2,\ldots e \operatorname{Re}(s)>0.
    • \mathcal{L}[1]=\dfrac{1}{s}, para \operatorname{Re}(s)>0.
  • Não foram fornecidas outras fórmulas prontas; usaremos apenas a definição e cálculo elementar de integrais.

Passo 2

Recordando a definição da transformada de Laplace (que é a única fórmula de Laplace que vamos usar):
\mathcal{L}[f(t)]=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa e a integral converge para \operatorname{Re}(s) suficientemente grande (aqui trabalhamos em \operatorname{Re}(s)>0).
Explicando os símbolos: f(t) é a função de tempo, e^{-st} é o núcleo que “pesa” f na integral, e a integral é tomada de t=0 até t\to\infty.

Passo 3

Vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula (no intervalo [0,\infty)) é:
\int_{0}^{\infty} u\,dv = \Big[uv\Big]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} v\,du.
Aqui u e v são funções de t; du é a derivada de u vezes dt e dv é algo que integramos para obter v. A ideia: escolhe-se u fácil de derivar e dv fácil de integrar.

Passo 4

Aplicando a definição ao caso f(t)=t^{n}:
\mathcal{L}\!\left[t^{n}\right]=\int_{0}^{\infty} t^{n} e^{-s t}\,dt.
Escolha para integração por partes:
u=t^{n},\qquad dv=e^{-s t}\,dt.
Então
du = n t^{n-1}\,dt,\qquad v = \int e^{-s t}\,dt = -\frac{1}{s} e^{-s t}.

Passo 5

Agora aplicar a fórmula de integração por partes:
\int_{0}^{\infty} t^{n} e^{-s t}\,dt = \Big[-\frac{t^{n}}{s} e^{-s t}\Big]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}\Big(-\frac{1}{s} e^{-s t}\Big)\, n t^{n-1}\,dt.
Reorganizando:
\int_{0}^{\infty} t^{n} e^{-s t}\,dt = -\frac{1}{s}\lim_{t\to\infty} t^{n} e^{-s t} + \frac{1}{s}\Big(0^{\,n}e^{-s\cdot 0}\Big) + \frac{n}{s}\int_{0}^{\infty} t^{n-1} e^{-s t}\,dt.

Passo 6

Avaliação dos termos de contorno usando o que foi dado:
  • Pelo resultado fornecido, \displaystyle \lim_{t\to\infty} t^{n} e^{-s t}=0 para \operatorname{Re}(s)>0.
  • Para t=0 e n\ge 1, tem-se 0^{n}e^{-s\cdot 0}=0.
    Portanto o termo de contorno é zero e ficamos com a relação de recorrência
\mathcal{L}\!\left[t^{n}\right]=\frac{n}{s}\,\mathcal{L}\!\left[t^{n-1}\right],\qquad n=1,2,3,\ldots
Esta relação diz que a transformada de t^{n} se obtém multiplicando a transformada de t^{n-1} por n/s.

Passo 7

Fazer prova por indução usando a relação de recorrência:
  • Caso base: para n=0 temos t^{0}=1 e nos deram \mathcal{L}[1]=\dfrac{1}{s}. Note que isso coincide com a fórmula que esperamos escrever como \dfrac{0!}{s^{0+1}}=\dfrac{1}{s}.
  • Passo indutivo: suponha que para algum k\ge 1 valha
\mathcal{L}\!\left[t^{k-1}\right]=\frac{(k-1)!}{s^{k}}.
Usando a recorrência,
\mathcal{L}\!\left[t^{k}\right]=\frac{k}{s}\,\mathcal{L}\!\left[t^{k-1}\right] = \frac{k}{s}\cdot\frac{(k-1)!}{s^{k}} = \frac{k!}{s^{k+1}}.
Assim a fórmula vale para k. Pelo princípio da indução matemática a fórmula vale para todo n=0,1,2,\ldots. Em particular para n=1,2,3,\ldots.

Passo 8

Interpretação final e exemplos rápidos para fixar:
  • Para n=1: \mathcal{L}[t]=\dfrac{1!}{s^{2}}=\dfrac{1}{s^{2}}.
  • Para n=2: \mathcal{L}[t^{2}]=\dfrac{2!}{s^{3}}=\dfrac{2}{s^{3}}.
    Estas verificações rápidas ajudam a memorizar a estrutura: aparece um n! no numerador e s^{n+1} no denominador.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\!\left[t^{n}\right]=\frac{n!}{s^{\,n+1}}, para \operatorname{Re}(s)>0.

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