QUESTÃO No. 2 (25 pontos)
Usando a definição de transformada de Laplace de uma função, encontre
, onde
.
No seu desenvolvimente pode assumir válidos os seguintes 2 resultados vistos em aula:
e é permitido usar a fórmula da definição de
dada no formulário mas nenhuma outra fórmula ou propriedade que apareçam no mesmo.
No seu desenvolvimente pode assumir válidos os seguintes 2 resultados vistos em aula:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se encontrar
para . - É permitido usar a definição da transformada de Laplace e os dois resultados dados:
-
, para e . -
, para .
-
- Não foram fornecidas outras fórmulas prontas; usaremos apenas a definição e cálculo elementar de integrais.
Passo 2
Recordando a definição da transformada de Laplace (que é a única fórmula de Laplace que vamos usar):
onde
é uma variável complexa e a integral converge para
suficientemente grande (aqui trabalhamos em
).
Explicando os símbolos: é a função de tempo,
é o núcleo que “pesa”
na integral, e a integral é tomada de
até
.
Explicando os símbolos:
Passo 3
Vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula (no intervalo
) é:
Aqui
e
são funções de
;
é a derivada de
vezes
e
é algo que integramos para obter
. A ideia: escolhe-se
fácil de derivar e
fácil de integrar.
Passo 4
Aplicando a definição ao caso
:
Escolha para integração por partes:
Então
Passo 5
Agora aplicar a fórmula de integração por partes:
Reorganizando:
Passo 6
Avaliação dos termos de contorno usando o que foi dado:
- Pelo resultado fornecido,
para . - Para
e , tem-se .
Portanto o termo de contorno é zero e ficamos com a relação de recorrência
Esta relação diz que a transformada de
se obtém multiplicando a transformada de
por
.
Passo 7
Fazer prova por indução usando a relação de recorrência:
- Caso base: para
temos e nos deram . Note que isso coincide com a fórmula que esperamos escrever como . - Passo indutivo: suponha que para algum
valha
Usando a recorrência,
Assim a fórmula vale para
. Pelo princípio da indução matemática a fórmula vale para todo
. Em particular para
.
Passo 8
Interpretação final e exemplos rápidos para fixar:
- Para
: . - Para
: .
Estas verificações rápidas ajudam a memorizar a estrutura: aparece umno numerador e no denominador.