4^a Questão:(25 pontos)
Considere
f(x)=sen(x)
Calcule a expressão
f(x)=f(0)+f^prime(0) x+f^prime prime(0) x^22+cdots+f^(n)(0) x^nn! cdots

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=sen(x) e pede que a gente escreva
f(x)=f(0)+f'(0),x+f''(0),x^22!+cdots+f^(n)(0),x^nn!+cdots
Ou seja, a série de Maclaurin de sen(x). Para isso, vamos precisar das derivadas de sen(x) avaliadas em x=0.

Passo 2

Calculemos as primeiras derivadas de f(x)=sen(x) e seus valores em 0:
f(x)&=sen(x),&f(0)&=0, f'(x)&=cos(x),&f'(0)&=1, f''(x)&=-sen(x),&f''(0)&=0, f'''(x)&=-cos(x),&f'''(0)&=-1, f^(4)(x)&=sen(x),&f^(4)(0)&=0,
e assim por diante, repetindo-se a cada quatro derivadas.

Passo 3

Observamos o padrão para f^(n)(0):
  • Se n for par, então f^(n)(0)=0.
  • Se n for ímpar, dá para escrever n=2k+1 e
f^(2k+1)(0)=(-1)^k

Passo 4

Substituindo na série de Maclaurin apenas os termos não-nulos (quando n=2k+1) temos
sen(x) =sumn=0^inftyf^(n)(0),x^nn! =sumk=0^inftyf^(2k+1)(0),x^2k+1(2k+1)! =sumk=0^infty(-1)^kx^2k+1(2k+1)!

Resposta

sen(x)=sumk=0^infty(-1)^kx^2k+1(2k+1)!

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