Use a forma da definição de integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
\int_{1}^{5}\left(3 x^{2}+7 x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{1}^{5}\bigl(3x^{2}+7x\bigr)\,dx
usando a definição de integral como limite de soma de Riemann (Teorema 4). Vamos particionar o intervalo em n subintervalos iguais, usar pontos de amostra (p. ex. extremidades direitas) e recorrer às fórmulas
\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}, \qquad \sum_{i=1}^{n} i^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

Passo 2

Definimos
\Delta x = \frac{5-1}{n} = \frac{4}{n}, \qquad x_{i} = 1 + i\,\Delta x = 1 + \frac{4i}{n},
e construímos a soma de Riemann pela direita:
S_{n} = \sum_{i=1}^{n} \bigl[3(x_{i})^{2} + 7\,x_{i}\bigr]\,\Delta x.

Passo 3

Vamos expandir o termo dentro da soma. Primeiro
(x_{i})^{2} = \Bigl(1+\frac{4i}{n}\Bigr)^{2} = 1 + \frac{8i}{n} + \frac{16\,i^{2}}{n^{2}},
logo
3(x_{i})^{2} = 3 + \frac{24\,i}{n} + \frac{48\,i^{2}}{n^{2}}, \qquad 7\,x_{i} = 7 + \frac{28\,i}{n}.
Somando:
3(x_{i})^{2} + 7\,x_{i} = 10 + \frac{52\,i}{n} + \frac{48\,i^{2}}{n^{2}}.
Multiplicando por \Delta x = 4/n:
\bigl[3(x_{i})^{2} + 7\,x_{i}\bigr]\Delta x = \frac{4}{n}\Bigl(10 + \frac{52\,i}{n} + \frac{48\,i^{2}}{n^{2}}\Bigr) = \frac{40}{n} + \frac{208\,i}{n^{2}} + \frac{192\,i^{2}}{n^{3}}.
Agora somamos de i=1 até n:
S_{n} = \sum_{i=1}^{n}\frac{40}{n} + \sum_{i=1}^{n}\frac{208\,i}{n^{2}} + \sum_{i=1}^{n}\frac{192\,i^{2}}{n^{3}}.
Usando as fórmulas de somas:
\sum_{i=1}^{n}\frac{40}{n} = \frac{40n}{n} = 40,
\sum_{i=1}^{n}\frac{208\,i}{n^{2}} = \frac{208}{n^{2}}\cdot\frac{n(n+1)}{2} = 104\Bigl(1 + \frac{1}{n}\Bigr),
\sum_{i=1}^{n}\frac{192\,i^{2}}{n^{3}} = \frac{192}{n^{3}}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = 32\cdot\frac{2n^{3}+3n^{2}+n}{n^{3}} = 64 + \frac{96}{n} + \frac{32}{n^{2}}.
Então
S_{n} = 40 + 104\Bigl(1 + \frac{1}{n}\Bigr) + \Bigl(64 + \frac{96}{n} + \frac{32}{n^{2}}\Bigr) = 208 + \frac{200}{n} + \frac{32}{n^{2}}.

Passo 4

Pela definição da integral como limite de S_{n}, temos
\int_{1}^{5}\bigl(3x^{2}+7x\bigr)\,dx = \lim_{n\to\infty} S_{n} = \lim_{n\to\infty}\Bigl(208 + \frac{200}{n} + \frac{32}{n^{2}}\Bigr) = 208.

Resposta

208

Exercícios relacionados