Questão 27 (USP)
Seja z o produto dos complexos \frac{3}{2}(1+\sqrt{3} \mathrm{i}) e \sqrt{3}+\mathrm{i}. Então o módulo e o argumento de z são respectivamente:
a) 4 e 30^{\circ}
b) 12 e 80^{\circ}
c) 3 e 90^{\circ}
d) 6 e 90^{\circ}
Passo 1
O enunciado dá que z é o produto dos complexos \dfrac{3}{2}(1+\sqrt{3}\,\mathrm{i}) e \sqrt{3}+\mathrm{i}. Pergunta-se qual são, respectivamente, o módulo e o argumento de z. Informações relevantes fornecidas:
Primeiro fator: \dfrac{3}{2}(1+\sqrt{3}\,\mathrm{i}).
Segundo fator: \sqrt{3}+\mathrm{i}.
Devemos devolver o módulo |z| e o argumento \arg z.
Passo 2
Conceito importante (mini-aula): todo número complexo w=x+y\,\mathrm{i} tem módulo definido por
|w|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
onde x é a parte real e y a parte imaginária. O argumento \arg w é o ângulo \theta tal que \cos\theta=\dfrac{x}{|w|} e \sin\theta=\dfrac{y}{|w|}; numericamente costuma-se obter \theta pelo arco-tangente \theta=\arctan\!\big(\dfrac{y}{x}\big), tomando cuidado com o quadrante. Outra propriedade útil: ao multiplicar complexos, multiplicam-se os módulos e somam-se os argumentos. Ou seja, para w_1 e w_2,