Questão 27 (USP)
Seja z o produto dos complexos \frac{3}{2}(1+\sqrt{3} \mathrm{i}) e \sqrt{3}+\mathrm{i}. Então o módulo e o argumento de z são respectivamente:
a) 4 e 30^{\circ}
b) 12 e 80^{\circ}
c) 3 e 90^{\circ}
d) 6 e 90^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá que z é o produto dos complexos \dfrac{3}{2}(1+\sqrt{3}\,\mathrm{i}) e \sqrt{3}+\mathrm{i}. Pergunta-se qual são, respectivamente, o módulo e o argumento de z. Informações relevantes fornecidas:
  • Primeiro fator: \dfrac{3}{2}(1+\sqrt{3}\,\mathrm{i}).
  • Segundo fator: \sqrt{3}+\mathrm{i}.
  • Devemos devolver o módulo |z| e o argumento \arg z.

Passo 2

Conceito importante (mini-aula): todo número complexo w=x+y\,\mathrm{i} tem módulo definido por
|w|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
onde x é a parte real e y a parte imaginária. O argumento \arg w é o ângulo \theta tal que \cos\theta=\dfrac{x}{|w|} e \sin\theta=\dfrac{y}{|w|}; numericamente costuma-se obter \theta pelo arco-tangente \theta=\arctan\!\big(\dfrac{y}{x}\big), tomando cuidado com o quadrante. Outra propriedade útil: ao multiplicar complexos, multiplicam-se os módulos e somam-se os argumentos. Ou seja, para w_1 e w_2,
|w_1 w_2| = |w_1|\,|w_2|, \qquad \arg(w_1 w_2) = \arg w_1 + \arg w_2.
Isso facilita muito os cálculos — você só precisa dos módulos e argumentos dos fatores.

Passo 3

Calcular módulo do primeiro fator \dfrac{3}{2}(1+\sqrt{3}\,\mathrm{i}).
Primeiro calcule o módulo de 1+\sqrt{3}\,\mathrm{i}:
|1+\sqrt{3}\,\mathrm{i}|=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.
Como multiplicamos esse número por \dfrac{3}{2} (que é real e positivo), o módulo do primeiro fator é
\left|\dfrac{3}{2}(1+\sqrt{3}\,\mathrm{i})\right|=\dfrac{3}{2}\cdot 2.

Passo 4

Continuando o cálculo do primeiro fator: simplificando a expressão do módulo,
\left|\dfrac{3}{2}(1+\sqrt{3}\,\mathrm{i})\right|=\dfrac{3}{2}\cdot 2=3.
Agora o argumento do fator 1+\sqrt{3}\,\mathrm{i}: como a parte real é 1>0 e a imaginária é \sqrt{3}>0, estamos no primeiro quadrante e
\arg(1+\sqrt{3}\,\mathrm{i})=\arctan\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{1}\big)=\arctan(\sqrt{3})=60^\circ.
Multiplicar por \dfrac{3}{2} (real positivo) não altera o argumento, logo
\arg\!\left(\dfrac{3}{2}(1+\sqrt{3}\,\mathrm{i})\right)=60^\circ.

Passo 5

Calcular módulo do segundo fator \sqrt{3}+\mathrm{i}.
A parte real é \sqrt{3} e a imaginária é 1, então
\big|\sqrt{3}+\mathrm{i}\big|=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2.

Passo 6

Calcular argumento do segundo fator \sqrt{3}+\mathrm{i}.
Estamos no primeiro quadrante (ambas partes positivas). O ângulo é dado por
\arg(\sqrt{3}+\mathrm{i})=\arctan\!\big(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\big)=30^\circ.
(Recorde: \tan 30^\circ=\tfrac{1}{\sqrt{3}}.)

Passo 7

Aplicando a propriedade da multiplicação de complexos (módulos multiplicam-se e argumentos somam-se):
|z| = \left|\dfrac{3}{2}(1+\sqrt{3}\,\mathrm{i})\right|\cdot\big|\sqrt{3}+\mathrm{i}\big| = 3\cdot 2,
\arg z = \arg\!\left(\dfrac{3}{2}(1+\sqrt{3}\,\mathrm{i})\right) + \arg(\sqrt{3}+\mathrm{i}) = 60^\circ + 30^\circ.

Resposta

d) 6 e 90^\circ

Exercícios relacionados