Questão 26 (CESGRANRIO / TRANSPETRO - 2016). Um equipamento, cujo preço anunciado é de
100.000,00
20 %
\mathrm{R} $55.000,00$, sendo a primeira na data da compra, e a segunda para daí a 1 mês. A taxa mensal de juros cobrada pela loja, comparando-se as duas formas de pagamento, é igual a ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a taxa mensal de juros cobrada pela loja ao comparar as duas formas de pagamento. Informações importantes:
sendo a primeira parcela paga na data da compra (tempo
) e a segunda paga daqui a
mês (tempo
).
Pergunta a responder: qual é a taxa mensal de juros que faz com que as duas formas sejam equivalentes (isto é, que o valor à vista com desconto tenha o mesmo valor presente que o plano em duas parcelas)?
Pergunta a responder: qual é a taxa mensal de juros
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação didática): valor presente e desconto por juros.
Quando existe uma taxa de juros mensal , um pagamento futuro de valor
a ser feito daqui a
meses tem valor presente (o que ele “vale hoje”) dado por
Quando existe uma taxa de juros mensal
Aqui:
é a taxa mensal (em decimal),
é o valor futuro,
é o número de meses. Exemplo rápido para fixar: se
daqui a 1 mês e
(10% ao mês), então
. Ou seja, pagar
daqui a um mês equivale a pagar hoje cerca de
.
Passo 3
Aplicando ao problema: o pagamento à vista com desconto de
sobre
vale hoje
O plano a prazo tem duas parcelas de
: a primeira no tempo
(já vale
hoje) e a segunda no tempo
, cujo valor presente é
. A soma dos valores presentes das duas parcelas deve ser igual ao valor à vista de
. Assim montamos a equação
Passo 4
Resolver a equação passo a passo. Primeiro dividimos toda a equação por
para simplificar:
Calculamos a fração do lado direito:
Logo
Subtraindo
de ambos os lados:
Invertendo ambos os lados (tomando o recíproco):
Finalmente,
Convertendo para porcentagem:
Passo 5
Interpretação e checagem rápida (tranquiliza!): com
ao mês, o valor presente da segunda parcela é
e somando a primeira parcela
, que é exatamente o valor à vista com desconto. Está consistente. Sim, é uma taxa muito alta — a loja está cobrando juros enormes ao oferecer as duas parcelas em vez do desconto à vista.