Questão 26 (CESGRANRIO / TRANSPETRO - 2016). Um equipamento, cujo preço anunciado é de \mathrm{R} \ 100.000,00 pode ser comprado à vista com um desconto deà20 % , ou a prazo, em duas parcelas mensais e iguais de\mathrm{R} $55.000,00$, sendo a primeira na data da compra, e a segunda para daí a 1 mês. A taxa mensal de juros cobrada pela loja, comparando-se as duas formas de pagamento, é igual a ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a taxa mensal de juros cobrada pela loja ao comparar as duas formas de pagamento. Informações importantes:
\text{Preço anunciado} = \mathrm{R}\$\;100.000{,}00ç
\text{Desconto à vista} = 20\%à
\text{Pagamento a prazo: duas parcelas iguais de } \mathrm{R}\$\;55.000{,}00,
sendo a primeira parcela paga na data da compra (tempo 0) e a segunda paga daqui a 1 mês (tempo 1).
Pergunta a responder: qual é a taxa mensal de juros i que faz com que as duas formas sejam equivalentes (isto é, que o valor à vista com desconto tenha o mesmo valor presente que o plano em duas parcelas)?

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática): valor presente e desconto por juros.
Quando existe uma taxa de juros mensal i, um pagamento futuro de valor F a ser feito daqui a n meses tem valor presente (o que ele “vale hoje”) dado por
\text{PV}=\frac{F}{(1+i)^{n}}.
Aqui: i é a taxa mensal (em decimal), F é o valor futuro, n é o número de meses. Exemplo rápido para fixar: se F=\mathrm{R}\$100 daqui a 1 mês e i=0{,}10 (10% ao mês), então \text{PV}=\dfrac{100}{1+0{,}10}= \dfrac{100}{1{,}10}\approx 90{,}91. Ou seja, pagar 100 daqui a um mês equivale a pagar hoje cerca de 90{,}91.

Passo 3

Aplicando ao problema: o pagamento à vista com desconto de 20\% sobre \mathrm{R}\$\;100.000{,}00 vale hoje
\text{Valor à vista} = 100.000\cdot(1-0{,}20)=100.000\cdot 0{,}80=\mathrm{R}\$\;80.000{,}00.à
O plano a prazo tem duas parcelas de \mathrm{R}\$\;55.000{,}00: a primeira no tempo 0 (já vale \mathrm{R}\$\;55.000 hoje) e a segunda no tempo 1, cujo valor presente é \dfrac{55.000}{1+i}. A soma dos valores presentes das duas parcelas deve ser igual ao valor à vista de \mathrm{R}\$\;80.000. Assim montamos a equação
55.000+\frac{55.000}{1+i}=80.000.

Passo 4

Resolver a equação passo a passo. Primeiro dividimos toda a equação por 55.000 para simplificar:
1+\frac{1}{1+i}=\frac{80.000}{55.000}.
Calculamos a fração do lado direito:
\frac{80.000}{55.000}=\frac{80}{55}=\frac{16}{11}.
Logo
1+\frac{1}{1+i}=\frac{16}{11}.
Subtraindo 1 de ambos os lados:
\frac{1}{1+i}=\frac{16}{11}-1=\frac{5}{11}.
Invertendo ambos os lados (tomando o recíproco):
1+i=\frac{11}{5}.
Finalmente,
i=\frac{11}{5}-1=\frac{6}{5}=1{,}2.
Convertendo para porcentagem:
i=1{,}2=120\%.

Passo 5

Interpretação e checagem rápida (tranquiliza!): com i=120\% ao mês, o valor presente da segunda parcela é
\frac{55.000}{1+1{,}2}=\frac{55.000}{2{,}2}=25.000,
e somando a primeira parcela 55.000+25.000=80.000, que é exatamente o valor à vista com desconto. Está consistente. Sim, é uma taxa muito alta — a loja está cobrando juros enormes ao oferecer as duas parcelas em vez do desconto à vista.

Resposta

\;i=120\%\\ \text{ao mês}ê

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