Resolva as equações diferenciais:
OBS: C e A são constantes arbitrárias.
y Ln(x) d xd y=(y+1x)^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
y ln(x) dxdy = ( y + 1x )^2
Essa é uma equação diferencial que envolve funções de x em termos de y . Para resolver, vamos precisar lidar com derivadas e manipular equações para encontrar a função x(y) . Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a resolução. Vamos expandir o lado direito:
( y + 1x )^2 = (y + 1)^2x^2
Então, a equação fica:
y ln(x) dxdy = (y + 1)^2x^2

Passo 3

Agora, vamos isolar a derivada dxdy . Para isso, dividimos ambos os lados da equação por y ln(x) :
dxdy = (y + 1)^2y ln(x) cdot x^2
Essa simplificação nos ajuda a ver melhor como as variáveis estão relacionadas.

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis x e y . Multiplicamos ambos os lados por x^2 ln(x) :
x^2 ln(x) dxdy = (y + 1)^2y
Isso nos coloca em uma posição melhor para integrar ambos os lados.

Passo 5

Agora, vamos tratar essa equação como uma separação de variáveis. Podemos reescrever como:
x^2 ln(x) , dx = (y + 1)^2y , dy
Isso significa que podemos integrar ambos os lados separadamente.

Passo 6

Vamos integrar o lado esquerdo em termos de x e o lado direito em termos de y .
Primeiro, a integral do lado esquerdo:
integral x^2 ln(x) , dx
Para resolver isso, usamos integração por partes, onde:
  • u = ln(x) du = 1x dx
  • dv = x^2 dx v = x^33
Aplicando a fórmula de integração por partes integral u , dv = uv - integral v , du :
= ln(x) cdot x^33 - integral x^33 cdot 1x dx = x^3 ln(x)3 - 13 integral x^2 dx = x^3 ln(x)3 - 13 cdot x^33 + C = x^3 ln(x)3 - x^39 + C
Agora, a integral do lado direito:
integral (y + 1)^2y , dy
Vamos expandir o numerador:
(y + 1)^2y = y^2 + 2y + 1y = y + 2 + 1y
Então, a integral fica:
integral ( y + 2 + 1y ) dy = y^22 + 2y + ln|y| + C

Passo 7

Igualamos as integrais dos dois lados:
x^3 ln(x)3 - x^39 = y^22 + 2y + ln|y| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Para simplificar, podemos multiplicar ambos os lados por 9 para eliminar os denominadores:
3x^3 ln(x) - x^3 = 9y^22 + 18y + 9ln|y| + C'
Onde C' = 9C ainda é uma constante arbitrária.

Passo 9

Por fim, isolamos x^3 :
x^3 (3 ln(x) - 1) = 9y^22 + 18y + 9ln|y| + C'
Em geral, essa é a solução implícita da equação diferencial dada. Dependendo do contexto, podemos deixar assim ou tentar isolar x , mas normalmente essa forma é aceitável.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
x^3 (3 ln(x) - 1) = 9y^22 + 18y + 9 ln|y| + C
Onde C é a constante arbitrária de integração.

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