Resolva as equações diferenciais:
OBS: C e A são constantes arbitrárias.
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OBS: C e A são constantes arbitrárias.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
Essa é uma equação diferencial que envolve funções de
em termos de
. Para resolver, vamos precisar lidar com derivadas e manipular equações para encontrar a função
. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a resolução. Vamos expandir o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos isolar a derivada
. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por
:
Essa simplificação nos ajuda a ver melhor como as variáveis estão relacionadas.
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
. Multiplicamos ambos os lados por
:
Isso nos coloca em uma posição melhor para integrar ambos os lados.
Passo 5
Agora, vamos tratar essa equação como uma separação de variáveis. Podemos reescrever como:
Isso significa que podemos integrar ambos os lados separadamente.
Passo 6
Vamos integrar o lado esquerdo em termos de
e o lado direito em termos de
.
Primeiro, a integral do lado esquerdo:
Para resolver isso, usamos integração por partes, onde:
-
→ -
→
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Agora, a integral do lado direito:
Vamos expandir o numerador:
Então, a integral fica:
Passo 7
Igualamos as integrais dos dois lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Para simplificar, podemos multiplicar ambos os lados por 9 para eliminar os denominadores:
Onde
ainda é uma constante arbitrária.
Passo 9
Por fim, isolamos
:
Em geral, essa é a solução implícita da equação diferencial dada. Dependendo do contexto, podemos deixar assim ou tentar isolar
, mas normalmente essa forma é aceitável.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante arbitrária de integração.