Questão 28: Considere que, em um mercado com 30 empresas em concorrência perfeita, a demanda do setor é:
P=150-0,06 Q
E o custo total de cada empresa é:
C T=200+8 q+0,6 q^{2}
Calcule o lucro de uma empresa no curto prazo.

Passo 1

O enunciado descreve um mercado em concorrência perfeita com 30 empresas idênticas. A demanda de mercado é
P = 150 - 0,06\,Q
e o custo total de cada empresa é
CT(q) = 200 + 8\,q + 0,6\,q^{2}.
Queremos calcular o lucro de uma empresa no curto prazo. Para isso, precisamos:
  1. Obter a função de custo marginal da firma.
  2. Determinar a oferta individual e agregada em concorrência perfeita.
  3. Igualar oferta agregada à demanda para achar o preço de equilíbrio e a produção q.
  4. Calcular o lucro \pi = P\,q - CT(q).

Passo 2

Em concorrência perfeita, cada firma produz até o ponto em que
P = MC(q).
O custo marginal é a derivada de CT(q) em relação a q:
MC(q) = \frac{d}{dq}\bigl(200 + 8\,q + 0,6\,q^{2}\bigr) = 8 + 1,2\,q.

Passo 3

A oferta individual de curto prazo da firma é a parte de MC(q) acima do custo variável médio, mas aqui basta usar
P = 8 + 1,2\,q \quad\Longrightarrow\quad q(P) = \frac{P - 8}{1,2}.
A oferta agregada de todas as 30 firmas é
Q^s = 30\,q(P) = 30\;\frac{P - 8}{1,2}.
No equilíbrio de mercado, Q^s = Q^d, ou seja,
30\;\frac{P - 8}{1,2} \;=\; \frac{150 - P}{0,06}.

Passo 4

Resolvendo
30\;\frac{P - 8}{1,2} = \frac{150 - P}{0,06} \;\Longrightarrow\; 25\,(P - 8) = 16{,}666\ldots\,(150 - P)
25P - 200 = 2\,500 - 16{,}666\ldots\,P \;\Longrightarrow\; 41{,}666\ldots\,P = 2\,700 \;\Longrightarrow\; P^* = 64{,}8.
Logo, a produção de cada firma é
q^* = \frac{64{,}8 - 8}{1,2} = \frac{56{,}8}{1,2} = 47{,}333\ldots

Passo 5

O lucro de cada firma é
\pi = P^*\,q^* - CT(q^*) = 64{,}8 \times 47{,}333\ldots \;-\;\bigl[200 + 8\cdot 47{,}333\ldots + 0,6\,(47{,}333\ldots)^2\bigr].
Calculando separadamente:
\text{Receita} = 64{,}8 \times 47{,}333\ldots = 3\,067{,}2,
CT = 200 + 8\cdot 47{,}333\ldots + 0,6\,(47{,}333\ldots)^2 = 200 + 378{,}666\ldots + 1\,344{,}266\ldots = 1\,922{,}933\ldots
\pi = 3\,067{,}2 - 1\,922{,}933\ldots = 1\,144{,}266\ldots \approx 1\,144{,}27.

Resposta

O lucro de cada empresa no curto prazo é aproximadamente \pi = 1\,144{,}27.

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