Questão 26. Encontre uma solução contínua para o PVI
y^prime+y & =g(x) y(0) & =0
onde
g(x)=lll 2, & se & 0 <= x <= 1 0, & se & x>1
(Resp. y(x)= 2(1-e^-x), & se 0 <= x <= 1 2(e-1) e^-x, & se x>1)

Passo 1

O enunciado pede resolver o PVI de primeira ordem
y'(x)+y(x)=g(x), y(0)=0,
sendo
g(x)= 2,&0<= x<=1, 0,&x>1
O conteúdo é equação diferencial linear de primeira ordem; vamos usar o fator integrante para cada ramo de x.

Passo 2

Para 0<= x<=1 temos a ODE não homogênea
y'+y=2
O fator integrante é mu(x)=e^integral1,dx=e^x, logo
ddxl(e^x yr)=2e^x
Integrando de 0 até x e usando y(0)=0
e^x y(x)=2integral0^xe^t,dt=2l(e^x-1r),
portanto
y(x)=2l(1-e^-xr), 0<= x<=1

Passo 3

Para x>1 a função g(x)=0, então a ODE fica homogênea
y'+y=0,
cuja solução geral é
y(x)=C,e^-x, x>1,
com constante C a determinar pela continuidade em x=1.

Passo 4

Impondo y(1^-)=y(1^+), ou seja,
2l(1-e^-1r)=C,e^-1,
temos
C=2l(e-1r)

Resposta

A solução contínua fica
y(x)= 2l(1-e^-xr),&0<= x<=1, 2l(e-1r)e^-x,&x>1

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