Questão 27. Resolva o PVI
rl d yd x+1x cdot y(x) & =h(x) y(1) & =2 ,
onde
h(x)=lll x, & se & 1 <= x <= 2 0, & se & x>2
(Resp. y(x)= 13(x^2+5 / x), & se 1 <= x <= 2 1312, & se x>2)

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
dydx + 1x y(x) = h(x), y(1)=2,
onde
h(x)= x, & 1<= x<= 2, 0, & x>2
Trata\‐se de uma equação diferencial linear de 1º ordem. Para resolvê-la, vamos usar o fator integrante

Passo 2

Para uma equação da forma dydx + p(x),y = q(x), o fator integrante é
mu(x) = expl(integral p(x),dxr)
Aqui p(x)=1/x, logo
mu(x)=expl(integral tfrac1x,dxr)=exp(ln x)=x

Passo 3

Multiplicando a equação por mu(x)=x obtemos
xdydx + y = x,h(x) ;Longrightarrow; ddxl(x,yr)=x,h(x)
Agora resolvemos em cada intervalo.
Caso 1: 1<= x<=2
Nesse trecho h(x)=x, então
ddx(x,y)=xcdot x = x^2 ;Longrightarrow; x,y = integral x^2,dx = x^33 + C1
Portanto
y(x)=x^23 + C1x
Usando y(1)=2
2 = y(1) = 13 + C1 Longrightarrow C1 = 2 - tfrac13 = tfrac53
Logo, para 1<= x<=2,
y(x)=x^23 + 5/3x =13l(x^2 + tfrac5xr)

Passo 4

Caso 2: x>2
Aqui h(x)=0, então a equação fica
ddx(x,y)=0 ;Longrightarrow; x,y = C2 ;Longrightarrow; y(x)=C2x
Para encontrar C2, impomos continuidade em x=2. Do caso 1 temos
y(2)=13l(2^2 + tfrac52r) =13l(4 + 2,5r) =6,53=136
Logo em x=2 vale x,y = 2cdot136=133. Assim C2=tfrac133 e para x>2
y(x)=13/3x=133x

Resposta

y(x)= dfrac13l(x^2 + tfrac5xr), & 1<= x<=2,[1em] dfrac133,x, & x>2 ]

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