Questão 29 (FESP)
O valor de
é:
a) 64
b) 256
c)
d)
e)
O valor de
a) 64
b) 256
c)
d)
e)
Passo 1
O que o exercício pede: calcular o valor de
e comparar com as alternativas dadas.
Informações dadas: o número complexo inicial é e queremos
. As alternativas são:
a)
b)
c)
d)
e)
Informações dadas: o número complexo inicial é
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 2
Vamos entender bem o número dado escrevendo suas partes real e imaginária e calculando módulo e argumento. Para
temos: a parte real
e a parte imaginária
.
O módulo é dado por
O módulo
Substituindo
e
:
O argumento
satisfaz
. Como
e
, o ponto está no terceiro quadrante. O ângulo com tangente
é
, portanto o argumento principal é
Resumindo, a partir daqui podemos escrever
em forma polar:
Passo 3
Agora uma mini-aula: forma polar e Teorema de De Moivre.
Qualquer número complexo pode ser escrito como
Qualquer número complexo
onde
é o módulo e
é o argumento. O Teorema de De Moivre diz que, para inteiro
,
Aqui
significa elevar o módulo ao expoente
, e
é simplesmente o ângulo multiplicado. Isso evita multiplicações longas em forma retangular.
Passo 4
Aplicando De Moivre ao nosso
. Temos
e
. Então
Calcule
:
Sabemos que
e
. Portanto
Pronto: o resultado é um número real positivo,
.
Passo 5
Vou mostrar um caminho alternativo, que às vezes é mais rápido na prova: fatorar
. Note que
Então
Calcule cada fator:
, então
. Para
temos módulo
e argumento
, então
Multiplicando:
. Confirma o mesmo resultado.
Passo 6
Exemplo rápido para fixar: se
, então
. Em polar,
e
. Mesma resposta, duas visões.
Resposta
(b)