Questão 29 (FESP)
O valor de (-\sqrt{2}-\mathrm{i} \cdot \sqrt{2})^{8} é:
a) 64
b) 256
c) 64 i
d) 256 i
e) 256(1+i)

Passo 1

O que o exercício pede: calcular o valor de \left(-\sqrt{2}-\mathrm{i}\sqrt{2}\right)^{8} e comparar com as alternativas dadas.
Informações dadas: o número complexo inicial é \,z = -\sqrt{2}-\mathrm{i}\sqrt{2}\, e queremos z^{8}. As alternativas são:
a) 64
b) 256
c) 64\mathrm{i}
d) 256\mathrm{i}
e) 256(1+\mathrm{i})

Passo 2

Vamos entender bem o número dado escrevendo suas partes real e imaginária e calculando módulo e argumento. Para z = -\sqrt{2}-\mathrm{i}\sqrt{2} temos: a parte real a = -\sqrt{2} e a parte imaginária b = -\sqrt{2}.
O módulo r é dado por
r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
Substituindo a e b:
r=\sqrt{(\!-\sqrt{2}\!)^{2}+(\!-\sqrt{2}\!)^{2}}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2.
O argumento \theta satisfaz \tan\theta=\dfrac{b}{a}=\dfrac{-\sqrt{2}}{-\sqrt{2}}=1. Como a<0 e b<0, o ponto está no terceiro quadrante. O ângulo com tangente 1 é \pi/4, portanto o argumento principal é
\theta=-\dfrac{3\pi}{4}\quad\text{(ou equivalentemente }\theta=\dfrac{5\pi}{4}\text{)}.
Resumindo, a partir daqui podemos escrever z em forma polar:
z=2\bigl(\cos(-\tfrac{3\pi}{4})+\mathrm{i}\sin(-\tfrac{3\pi}{4})\bigr).

Passo 3

Agora uma mini-aula: forma polar e Teorema de De Moivre.
Qualquer número complexo z=a+\mathrm{i}b pode ser escrito como
z=r\bigl(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta\bigr),
onde r=\sqrt{a^{2}+b^{2}} é o módulo e \theta é o argumento. O Teorema de De Moivre diz que, para inteiro n,
z^{n}=r^{n}\bigl(\cos(n\theta)+\mathrm{i}\sin(n\theta)\bigr).
Aqui r^{n} significa elevar o módulo ao expoente n, e n\theta é simplesmente o ângulo multiplicado. Isso evita multiplicações longas em forma retangular.

Passo 4

Aplicando De Moivre ao nosso z. Temos r=2 e \theta=-\tfrac{3\pi}{4}. Então
z^{8}=2^{8}\bigl(\cos(8\cdot(-\tfrac{3\pi}{4}))+\mathrm{i}\sin(8\cdot(-\tfrac{3\pi}{4}))\bigr).
Calcule 8\theta:
8\cdot\bigl(-\tfrac{3\pi}{4}\bigr)=-6\pi.
Sabemos que \cos(-6\pi)=\cos(6\pi)=1 e \sin(-6\pi)=\sin(6\pi)=0. Portanto
z^{8}=2^{8}\bigl(1+\mathrm{i}\cdot 0\bigr)=2^{8}=256.
Pronto: o resultado é um número real positivo, 256.

Passo 5

Vou mostrar um caminho alternativo, que às vezes é mais rápido na prova: fatorar z. Note que
z=-\sqrt{2}-\mathrm{i}\sqrt{2}=-\sqrt{2}\,(1+\mathrm{i}).
Então
z^{8}=(-\sqrt{2})^{8}\,(1+\mathrm{i})^{8}.
Calcule cada fator: (-\sqrt{2})^{2}=2, então (-\sqrt{2})^{8}=(2)^{4}=16. Para (1+\mathrm{i}) temos módulo \sqrt{2} e argumento \pi/4, então
(1+\mathrm{i})^{8}=(\sqrt{2})^{8}\bigl(\cos(8\cdot\tfrac{\pi}{4})+\mathrm{i}\sin(8\cdot\tfrac{\pi}{4})\bigr)=2^{4}\bigl(\cos(2\pi)+\mathrm{i}\sin(2\pi)\bigr)=16\cdot 1=16.
Multiplicando: z^{8}=16\cdot 16=256. Confirma o mesmo resultado.

Passo 6

Exemplo rápido para fixar: se w=1+\mathrm{i}, então w^{2}=1+2\mathrm{i}+\mathrm{i}^{2}=2\mathrm{i}. Em polar, w=\sqrt{2}\cis(\tfrac{\pi}{4}) e w^{2}=2\cis(\tfrac{\pi}{2})=2\mathrm{i}. Mesma resposta, duas visões.

Resposta

(b) 256

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