Questão 27. Sem expandir os determinantes abaixo prove as seguintes igualdades: \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\\ a+2 x & b+2 y & c+2 z \\\ x & y & z\end{array}\right|=0
Passo 1
O enunciado dá o determinante da matriz 3\times3
\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\\ a+2x & b+2y & c+2z \\\ x & y & z \end{array}\right|
e pede para provar que esse determinante é igual a zero. Informações relevantes fornecidas:
A primeira linha é (a,\;b,\;c).
A segunda linha é (a+2x,\;b+2y,\;c+2z).
A terceira linha é (x,\;y,\;z).
É pedido provar que o valor do determinante acima é igual a zero, sem expandir o determinante.
Passo 2
Para manipular isso de forma organizada, chamo as linhas de vetores:
\mathbf{r}_1=(a,\;b,\;c),
\mathbf{r}_2=(a+2x,\;b+2y,\;c+2z),
\mathbf{r}_3=(x,\;y,\;z).
Escrever o determinante usando essa notação:
D=\det(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_3).
Passo 3
Observar a relação entre as linhas: calcular \mathbf{r}_1+2\mathbf{r}_3.
Lembrar duas propriedades fundamentais do determinante (três argumentos: simples e essenciais para prova):
Multilinearidade nas linhas: o determinante é linear em cada linha quando as outras são mantidas fixas. Isso significa que, para constantes \alpha,\beta e vetores \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w},
Alternância (ou antissimetria): se duas linhas de uma matriz são iguais, o determinante é zero. Isso decorre do fato de que trocar duas linhas muda o sinal do determinante; trocar linhas iguais não altera a matriz, logo o determinante deve ser igual ao seu negativo, forçando-o a ser zero.
Passo 5
Aplicar a multilinearidade à segunda linha do determinante D, usando \mathbf{r}_2=\mathbf{r}_1+2\mathbf{r}_3:
Usar a propriedade de alternância para avaliar os dois termos:
No primeiro termo as duas primeiras linhas são iguais (\mathbf{r}_1 e \mathbf{r}_1), então \det(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_3)=0.
No segundo termo as duas últimas linhas são iguais (\mathbf{r}_3 e \mathbf{r}_3), então \det(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_3,\mathbf{r}_3)=0.
Passo 7
Portanto ambos os termos da decomposição são zero e assim
D=0+2\cdot 0=0.
Passo 8
Interpretação alternativa (curta): a igualdade \mathbf{r}_2=\mathbf{r}_1+2\mathbf{r}_3 mostra que as três linhas são linearmente dependentes (há uma combinação linear não trivial que dá o vetor zero). Determinantes de matrizes com linhas (ou colunas) linearmente dependentes são sempre zero. Isso conduz à mesma conclusão: o determinante vale zero.