Questão 27. Sem expandir os determinantes abaixo prove as seguintes igualdades:
\left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\\ a+2 x & b+2 y & c+2 z \\\ x & y & z\end{array}\right|=0

Passo 1

O enunciado dá o determinante da matriz 3\times3
\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\\ a+2x & b+2y & c+2z \\\ x & y & z \end{array}\right|
e pede para provar que esse determinante é igual a zero. Informações relevantes fornecidas:
  • A primeira linha é (a,\;b,\;c).
  • A segunda linha é (a+2x,\;b+2y,\;c+2z).
  • A terceira linha é (x,\;y,\;z).
  • É pedido provar que o valor do determinante acima é igual a zero, sem expandir o determinante.

Passo 2

Para manipular isso de forma organizada, chamo as linhas de vetores:
  • \mathbf{r}_1=(a,\;b,\;c),
  • \mathbf{r}_2=(a+2x,\;b+2y,\;c+2z),
  • \mathbf{r}_3=(x,\;y,\;z).
Escrever o determinante usando essa notação:
D=\det(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_3).

Passo 3

Observar a relação entre as linhas: calcular \mathbf{r}_1+2\mathbf{r}_3.
\mathbf{r}_1+2\mathbf{r}_3=(a,\;b,\;c)+2(x,\;y,\;z)=(a+2x,\;b+2y,\;c+2z).
Portanto
\mathbf{r}_2=\mathbf{r}_1+2\mathbf{r}_3.

Passo 4

Lembrar duas propriedades fundamentais do determinante (três argumentos: simples e essenciais para prova):
  1. Multilinearidade nas linhas: o determinante é linear em cada linha quando as outras são mantidas fixas. Isso significa que, para constantes \alpha,\beta e vetores \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w},
\det(\mathbf{u},\alpha\mathbf{v}+\beta\mathbf{w},\mathbf{t})=\alpha\det(\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{t})+\beta\det(\mathbf{u},\mathbf{w},\mathbf{t}).
  1. Alternância (ou antissimetria): se duas linhas de uma matriz são iguais, o determinante é zero. Isso decorre do fato de que trocar duas linhas muda o sinal do determinante; trocar linhas iguais não altera a matriz, logo o determinante deve ser igual ao seu negativo, forçando-o a ser zero.

Passo 5

Aplicar a multilinearidade à segunda linha do determinante D, usando \mathbf{r}_2=\mathbf{r}_1+2\mathbf{r}_3:
D=\det(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_1+2\mathbf{r}_3,\mathbf{r}_3).
Pela linearidade na segunda linha:
D=\det(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_3)+2\det(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_3,\mathbf{r}_3).

Passo 6

Usar a propriedade de alternância para avaliar os dois termos:
  • No primeiro termo as duas primeiras linhas são iguais ( \mathbf{r}_1 e \mathbf{r}_1), então \det(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_3)=0.
  • No segundo termo as duas últimas linhas são iguais ( \mathbf{r}_3 e \mathbf{r}_3), então \det(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_3,\mathbf{r}_3)=0.

Passo 7

Portanto ambos os termos da decomposição são zero e assim
D=0+2\cdot 0=0.

Passo 8

Interpretação alternativa (curta): a igualdade \mathbf{r}_2=\mathbf{r}_1+2\mathbf{r}_3 mostra que as três linhas são linearmente dependentes (há uma combinação linear não trivial que dá o vetor zero). Determinantes de matrizes com linhas (ou colunas) linearmente dependentes são sempre zero. Isso conduz à mesma conclusão: o determinante vale zero.

Resposta

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