Questão 28: Para cada um dos espaços vetoriais abaixo, com operações usuais, descreva o vetor nulo.
Passo 1
O enunciado pede o vetor nulo no espaço vetorial
, que é o conjunto de todas as funções contínuas de
em
, usando as operações usuais de soma de funções e multiplicação por escalar. Para encontrar o vetor nulo, precisamos aplicar a definição de identidade aditiva em um espaço vetorial.
Passo 2
Em qualquer espaço vetorial, o vetor nulo
satisfaz
para toda função
. Aqui a soma é definida ponto a ponto, isto é,
Logo, para que
para todo
, precisamos ter
Passo 3
Portanto, o vetor nulo em
é exatamente a função que leva cada ponto
de
ao escalar zero.
Resposta
A função nula
é o vetor nulo de
.