Questão 28: Para cada um dos espaços vetoriais abaixo, com operações usuais, descreva o vetor nulo.
C[a, b]

Passo 1

O enunciado pede o vetor nulo no espaço vetorial C[a,b], que é o conjunto de todas as funções contínuas de [a,b] em \mathbb{R}, usando as operações usuais de soma de funções e multiplicação por escalar. Para encontrar o vetor nulo, precisamos aplicar a definição de identidade aditiva em um espaço vetorial.

Passo 2

Em qualquer espaço vetorial, o vetor nulo 0_V satisfaz
f + 0_V = f
para toda função f\in C[a,b]. Aqui a soma é definida ponto a ponto, isto é,
(f+g)(x)=f(x)+g(x).
Logo, para que (f+0_V)(x)=f(x) para todo x\in[a,b], precisamos ter
g(x)=0\quad\text{para todo }x.

Passo 3

Portanto, o vetor nulo em C[a,b] é exatamente a função que leva cada ponto x de [a,b] ao escalar zero.

Resposta

A função nula
0(x)=0,\quad x\in[a,b],
é o vetor nulo de C[a,b].

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