Questão 29: Determine quais dos conjuntos mathbb{W} abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
mathbb{W} é o conjunto de todas as matrizes 2 \times 2 simétricas.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto \mathbb{W} de todas as matrizes 2\times2 simétricas é um subespaço de \mathbb{R}^{2\times2}. Para isso, vamos usar a definição de subespaço vetorial: devemos checar se
  1. o vetor zero está em \mathbb{W},
  2. \mathbb{W} é fechado sob soma, e
  3. \mathbb{W} é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Uma matriz 2\times2 simétrica tem a forma
A=\begin{pmatrix} a & b\\\ b & d \end{pmatrix},
onde a,b,d\in\mathbb{R} e A^T=A. Assim, cada elemento de \mathbb{W} pode ser escrito como acima.

Passo 3

Vamos ver se a matriz zero
O=\begin{pmatrix} 0 & 0\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}
é simétrica. Como O^T=O, temos O\in\mathbb{W}.

Passo 4

Agora, sejam
A=\begin{pmatrix} a & b\\\ b & d \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B=\begin{pmatrix} a' & b'\\\ b' & d' \end{pmatrix}
duas matrizes em \mathbb{W}. A soma delas é
A+B =\begin{pmatrix} a+a' & b+b'\\\ b+b' & d+d' \end{pmatrix}.
Como essa nova matriz também satisfaz (A+B)^T=A+B, concluímos que A+B\in\mathbb{W}.

Passo 5

Seja c\in\mathbb{R}. Multiplicando A por c obtemos
cA =\begin{pmatrix} c\,a & c\,b\\\ c\,b & c\,d \end{pmatrix}.
Claramente (cA)^T=cA, logo cA\in\mathbb{W}.

Passo 6

Verificamos que \mathbb{W} contém o zero, é fechado sob soma e sob produto por escalar. Portanto, \mathbb{W} é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2\times2}.

Resposta

O conjunto de todas as matrizes 2\times2 simétricas é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2\times2}.

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