Questão 29: Determine quais dos conjuntos mathbb{W} abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
mathbb{W} \subset C[-1,1] tal que as funções em mathbb{W} satisfazem f(-1)=f(1)

Passo 1

O enunciado define \mathbb{W} = \{\,f\in C[-1,1]\mid f(-1)=f(1)\}.
Queremos verificar se \mathbb{W} é subespaço de C[-1,1]. Para isso, usamos o critério padrão:
  1. \mathbb{W}\neq\emptyset.
  2. Fechamento em soma: se f,g\in\mathbb{W}, então f+g\in\mathbb{W}.
  3. Fechamento em multiplicação por escalar: se f\in\mathbb{W} e \alpha\in\mathbb{R}, então \alpha f\in\mathbb{W}.

Passo 2

Verificamos que a função nula f_0(x)=0 pertence a C[-1,1] e satisfaz
f_0(-1)=0=f_0(1),
logo \mathbb{W} não é vazio.

Passo 3

Se f,g\in\mathbb{W}, então
f(-1)=f(1) \quad\text{e}\quad g(-1)=g(1).
Defina h=f+g. Então
h(-1)=f(-1)+g(-1)=f(1)+g(1)=h(1),
logo h\in\mathbb{W}. Assim, \mathbb{W} é fechado sob soma.

Passo 4

Se f\in\mathbb{W} e \alpha\in\mathbb{R}, considere \alpha f. Então
(\alpha f)(-1)=\alpha\,f(-1)=\alpha\,f(1)=(\alpha f)(1),
logo \alpha f\in\mathbb{W}. Assim, \mathbb{W} é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 5

Como \mathbb{W} é não vazio, fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar, concluímos que \mathbb{W} é subespaço vetorial de C[-1,1].

Resposta

\mathbb{W} é subespaço vetorial de C[-1,1].

Exercícios relacionados