Questão 28. Calcule a taxa mensal de desconto simples racional a ser aplicada sobre um título de R$1.000 para que seja gerado o mesmo desconto que o de uma operação de desconto simples comercial de
a.m., durante 2 anos.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (pegar as informações do enunciado):
- Valor nominal do título:
(reais). - Taxa do desconto simples comercial:
ao mês, isto é por mês. - Prazo:
anos meses, isto é (meses). - O enunciado pede: encontrar a taxa mensal do desconto simples racional
tal que o desconto gerado por essa taxa racional seja igual ao desconto gerado pela operação comercial indicada.
Passo 2
Entendendo e calculando o desconto simples comercial (desconto “bancário” ou “por fora”):
- Fórmula do desconto simples comercial: o montante do desconto é dado por
onde
é o valor nominal,
é a taxa por período e
é o número de períodos.
- Aqui, substituindo os dados:
- Calcule passo a passo:
. Então
- Logo o desconto comercial aplicado ao título é
e o valor recebido (valor atual pelo desconto comercial) é
Passo 3
Entendendo o desconto simples racional (desconto “por dentro”) e sua fórmula:
- Para desconto simples racional com taxa
por período e prazo , o valor atual é dado por
- O montante do desconto racional é
- Aqui a incógnita é
(taxa mensal racional) e .
Passo 4
Montando a equação que garante “mesmo desconto” e resolvendo para
:
- Queremos
. Usando a fórmula do desconto racional:
- Substituindo
e :
- Dividindo ambos os lados por
:
- Multiplicando ambos os lados por
:
- Desenvolvendo:
- Calculando
:
- Isolando
:
- Portanto
- Simplificando a fração: multiplicando numerador e denominador por
obtemos . Dividindo ambos por dá . - Assim
- Em porcentagem mensal:
Passo 5
Verificação rápida (checar que realmente dá desconto
):
- Calcule
- Então
confirmando que a solução está correta.