Questão 28. Calcule a taxa mensal de desconto simples racional a ser aplicada sobre um título de R$1.000 para que seja gerado o mesmo desconto que o de uma operação de desconto simples comercial de 1,5 \% a.m., durante 2 anos.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (pegar as informações do enunciado):
  • Valor nominal do título: N=1000 (reais).
  • Taxa do desconto simples comercial: d_{\text{com}}=1{,}5\% ao mês, isto é d_{\text{com}}=0{,}015 por mês.
  • Prazo: 2 anos =24 meses, isto é t=24 (meses).
  • O enunciado pede: encontrar a taxa mensal do desconto simples racional d_{\text{rat}} tal que o desconto gerado por essa taxa racional seja igual ao desconto gerado pela operação comercial indicada.

Passo 2

Entendendo e calculando o desconto simples comercial (desconto “bancário” ou “por fora”):
  • Fórmula do desconto simples comercial: o montante do desconto é dado por
D_{\text{com}}=N\cdot d_{\text{com}}\cdot t,
onde N é o valor nominal, d_{\text{com}} é a taxa por período e t é o número de períodos.
  • Aqui, substituindo os dados:
D_{\text{com}}=1000\cdot 0{,}015\cdot 24.
  • Calcule passo a passo: 0{,}015\cdot 24=0{,}36. Então
D_{\text{com}}=1000\cdot 0{,}36=360.
  • Logo o desconto comercial aplicado ao título é R\$360 e o valor recebido (valor atual pelo desconto comercial) é
P_{\text{com}}=N-D_{\text{com}}=1000-360=640.

Passo 3

Entendendo o desconto simples racional (desconto “por dentro”) e sua fórmula:
  • Para desconto simples racional com taxa d por período e prazo t, o valor atual P_{\text{rat}} é dado por
P_{\text{rat}}=\frac{N}{1+d\cdot t}.
  • O montante do desconto racional é
D_{\text{rat}}=N-P_{\text{rat}}=N-\frac{N}{1+d\cdot t}=N\cdot\frac{d\cdot t}{1+d\cdot t}.
  • Aqui a incógnita é d=d_{\text{rat}} (taxa mensal racional) e t=24.

Passo 4

Montando a equação que garante “mesmo desconto” e resolvendo para d_{\text{rat}}:
  • Queremos D_{\text{rat}}=D_{\text{com}}=360. Usando a fórmula do desconto racional:
N\cdot\frac{d_{\text{rat}}\cdot t}{1+d_{\text{rat}}\cdot t}=360.
  • Substituindo N=1000 e t=24:
1000\cdot\frac{24\,d_{\text{rat}}}{1+24\,d_{\text{rat}}}=360.
  • Dividindo ambos os lados por 1000:
\frac{24\,d_{\text{rat}}}{1+24\,d_{\text{rat}}}=0{,}36.
  • Multiplicando ambos os lados por 1+24\,d_{\text{rat}}:
24\,d_{\text{rat}}=0{,}36\,(1+24\,d_{\text{rat}}).
  • Desenvolvendo:
24\,d_{\text{rat}}=0{,}36+0{,}36\cdot 24\,d_{\text{rat}}.
  • Calculando 0{,}36\cdot 24=8{,}64:
24\,d_{\text{rat}}=0{,}36+8{,}64\,d_{\text{rat}}.
  • Isolando d_{\text{rat}}:
24\,d_{\text{rat}}-8{,}64\,d_{\text{rat}}=0{,}36 \quad\Rightarrow\quad 15{,}36\,d_{\text{rat}}=0{,}36.
  • Portanto
d_{\text{rat}}=\frac{0{,}36}{15{,}36}.
  • Simplificando a fração: multiplicando numerador e denominador por 100 obtemos \dfrac{36}{1536}. Dividindo ambos por 12 \dfrac{3}{128}.
  • Assim
d_{\text{rat}}=\frac{3}{128}\approx0{,}0234375.
  • Em porcentagem mensal:
d_{\text{rat}}\approx2{,}34375\%\\ \text{ao mês}.ê

Passo 5

Verificação rápida (checar que realmente dá desconto 360):
  • Calcule d_{\text{rat}}\cdot t= \dfrac{3}{128}\cdot 24=\dfrac{72}{128}=\dfrac{9}{16}=0{,}5625.
  • Então
D_{\text{rat}}=1000\cdot\frac{0{,}5625}{1+0{,}5625}=1000\cdot\frac{0{,}5625}{1{,}5625}=1000\cdot 0{,}36=360,
confirmando que a solução está correta.

Resposta

d_{\text{rat}}=\dfrac{3}{128}\approx0{,}0234375\\ \text{ao mês}\approx2{,}34375\%\\ \text{a.m.}ê

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