Questão 28. Qual é a concentração de
\mathrm{H}^{+}em cada uma das seguintes soluções a 25^{\circ} \mathrm{C} ?
d) \mathrm{NH}_{3} 0,15 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} ; \mathrm{K}_{\mathrm{b}}=1,8 \cdot 10^{-5}

Passo 1

O enunciado pede a concentração de \mathrm{H^{+}} a 25^\circ\mathrm{C} para a solução de amônia com concentração inicial \mathrm{NH_{3}} = 0{,}15\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}} e constante básica \mathrm{K_{b}} = 1{,}8\times10^{-5}. Dados fornecidos relevantes: \mathrm{[NH_{3}]_{0}} = 0{,}15\\ \mathrm{M}, \mathrm{K_{b}} = 1{,}8\times10^{-5} e a temperatura 25^\circ\mathrm{C} (portanto \mathrm{K_{w}} = 1{,}0\times10^{-14}). A pergunta única é: qual é [\mathrm{H^{+}}] na solução?

Passo 2

Escrevemos a reação de ionização da base fraca \mathrm{NH_{3}} em água e montamos uma tabela ICE (Inicial — Variação — Equilíbrio).
Reação:
\mathrm{NH_{3} + H_{2}O \rightleftharpoons NH_{4}^{+} + OH^{-}}
Concentrações (mol L ^{-1}):
\begin{array}{lcl} \text{inicial:} & & [\mathrm{NH_{3}}]=0{,}15,\quad [\mathrm{NH_{4}^{+}}]=0,\quad [\mathrm{OH^{-}}]=0\\[4pt] \text{variação:} & & [\mathrm{NH_{3}}]=0{,}15 - x,\quad [\mathrm{NH_{4}^{+}}]=x,\quad [\mathrm{OH^{-}}]=x\\[4pt] \text{equilíbrio:} & & [\mathrm{NH_{3}}]=0{,}15 - x,\quad [\mathrm{NH_{4}^{+}}]=x,\quad [\mathrm{OH^{-}}]=x \end{array}çãí
A expressão da constante básica é
\mathrm{K_{b}}=\dfrac{[\mathrm{NH_{4}^{+}}][\mathrm{OH^{-}}]}{[\mathrm{NH_{3}}]}=\dfrac{x^{2}}{0{,}15 - x}.]

Passo 3

Para resolver exatamente teríamos que resolver a equação quadrática
x^{2} = \mathrm{K_{b}}\,(0{,}15 - x).
Mas como \mathrm{K_{b}} é pequena, é comum usar a aproximação x\ll0{,}15, o que simplifica para
x\approx\sqrt{\mathrm{K_{b}}\cdot 0{,}15}.
Esta fórmula vem de aproximar 0{,}15 - x\approx0{,}15 e isolar x:
x^{2}\approx\mathrm{K_{b}}\cdot0{,}15\quad\Rightarrow\quad x\approx\sqrt{\mathrm{K_{b}}\cdot0{,}15}.
Calculando o produto:
\mathrm{K_{b}}\cdot0{,}15 = 1{,}8\times10^{-5}\times0{,}15 = 2{,}7\times10^{-6}.
Agora a raiz:
x\approx\sqrt{2{,}7\times10^{-6}} \approx 1{,}64\times10^{-3}\\ \mathrm{M}.
Aqui x=[\mathrm{OH^{-}}]. Precisamos verificar a validade da aproximação: comparando x com a concentração inicial,
\frac{x}{0{,}15}=\frac{1{,}64\times10^{-3}}{0{,}15}\approx0{,}0109\;(\approx1{,}09\%),
ou seja, muito menor que 5\%; a aproximação é válida.

Passo 4

Agora usamos a relação entre [\mathrm{H^{+}}] e [\mathrm{OH^{-}}] a 25^\circ\mathrm{C}:
\mathrm{K_{w}}=[\mathrm{H^{+}}][\mathrm{OH^{-}}]=1{,}0\times10^{-14}.
Portanto
[\mathrm{H^{+}}]=\dfrac{\mathrm{K_{w}}}{[\mathrm{OH^{-}}]}=\dfrac{1{,}0\times10^{-14}}{1{,}64\times10^{-3}}.
Fazendo a divisão:
[\mathrm{H^{+}}]\approx6{,}09\times10^{-12}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
Comentário rápido (motivacional): deu trabalho, mas o caminho padrão é sempre o mesmo com bases fracas — montar ICE, usar a expressão da constante, aproximar quando faz sentido, encontrar [\mathrm{OH^{-}}] e converter para [\mathrm{H^{+}}]. Você consegue fazer isso na prova!

Resposta

6{,}09\times10^{-12}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}

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