Questão 29. Calcule a concentração do íon hidrogênio em cada uma das seguintes soluções a 25^{\circ} \mathrm{C} de um ácido ou uma base e seu sal:
a) \mathrm{HC}_{2} \mathrm{H}_{3} \mathrm{O}_{2} 0,25 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} ; \mathrm{NaC}_{2} \mathrm{H}_{3} \mathrm{O}_{2} 0,15 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} ; \mathrm{K}_{\mathrm{a}}=1,8 \cdot 10^{-5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a concentração do íon hidrogênio em uma solução que contém o ácido acético e o sal acetato de sódio, à temperatura de 25^\circ\mathrm{C}. As informações fornecidas são:
\text{ácido: } \mathrm{HC}_2\mathrm{H}_3\mathrm{O}_2 \text{ com concentração } 0,25\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}áçã
\text{sal (acetato): } \mathrm{NaC}_2\mathrm{H}_3\mathrm{O}_2 \text{ com concentração } 0,15\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}çã
K_a = 1,8\cdot10^{-5}
A pergunta é: qual é a concentração do íon hidrogênio [\mathrm{H}^+] nessa solução?
Não há outras partes do enunciado: só esse sistema (ácido fraco + seu sal).

Passo 2

Entendendo o equilíbrio químico e a equação que vamos usar — explicação didática:
O ácido acético se ioniza segundo
\mathrm{HC}_2\mathrm{H}_3\mathrm{O}_2 \rightleftharpoons \mathrm{H}^+ + \mathrm{C}_2\mathrm{H}_3\mathrm{O}_2^-
A constante de ionização é
K_a=\frac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{C}_2\mathrm{H}_3\mathrm{O}_2^-]}{[\mathrm{HC}_2\mathrm{H}_3\mathrm{O}_2]}.
Quando temos um ácido fraco e seu sal (um tampão), existe uma fórmula prática que relaciona pH com as concentrações do ácido e da base conjugada: a equação de Henderson–Hasselbalch. Vou derivá-la rapidamente para você entender de onde vem:
partindo de
K_a=\frac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{A}^-]}{[\mathrm{HA}]},
onde escrevo [\mathrm{A}^-] para o acetato e [\mathrm{HA}] para o ácido acético. Isolando [\mathrm{H}^+] e tomando logaritmo decimal:
[\mathrm{H}^+] = K_a\frac{[\mathrm{HA}]}{[\mathrm{A}^-]}
-\log_{10}[\mathrm{H}^+] = -\log_{10}K_a -\log_{10}\frac{[\mathrm{HA}]}{[\mathrm{A}^-]}
Usando as definições \mathrm{pH}=-\log_{10}[\mathrm{H}^+] e \mathrm{p}K_a=-\log_{10}K_a,
\mathrm{pH}=\mathrm{p}K_a+\log_{10}\frac{[\mathrm{A}^-]}{[\mathrm{HA}]}.
Explicando as variáveis:
  • \mathrm{pH} é o logaritmo negativo da concentração de \mathrm{H}^+.
  • \mathrm{p}K_a é o log negativo da constante de acidez.
  • [\mathrm{A}^-] e [\mathrm{HA}] são as concentrações molares (aproximadas pelas concentrações iniciais do sal e do ácido no tampão, respectivamente), desde que as variações por ionização sejam pequenas — o que vamos checar depois.
Essa fórmula é a mais prática para tampões e é a que usamos primeiro.

Passo 3

Calculemos \mathrm{p}K_a e a razão [\mathrm{A}^-]/[\mathrm{HA}].
Primeiro,
\mathrm{p}K_a = -\log_{10}(K_a) = -\log_{10}\bigl(1,8\cdot10^{-5}\bigr).
Vamos avaliar isso numericamente: \log_{10}(1,8)\approx0,2553, então
\log_{10}\bigl(1,8\cdot10^{-5}\bigr)=\log_{10}(1,8)-5\approx -4,7447,
portanto
\mathrm{p}K_a\approx 4,7447.
Agora a razão das concentrações (pego os dados do enunciado):
\frac{[\mathrm{A}^-]}{[\mathrm{HA}]}=\frac{0,15}{0,25}=0,60.
O logaritmo desta razão é
\log_{10}(0,60)\approx -0,22185.
Inserindo na Henderson–Hasselbalch:
\mathrm{pH}=\mathrm{p}K_a+\log_{10}\frac{[\mathrm{A}^-]}{[\mathrm{HA}]}\approx 4,7447+(-0,22185)=4,52285.

Passo 4

Converter \mathrm{pH} em [\mathrm{H}^+]. Lembre que
[\mathrm{H}^+] = 10^{-\mathrm{pH}}.
Então
[\mathrm{H}^+] = 10^{-4,52285}.
Para calcular isso, escrevemos
10^{-4,52285}=10^{-0,52285}\times10^{-4}.
E 10^{-0,52285}\approx 0,2996, portanto
[\mathrm{H}^+]\approx 0,2996\times10^{-4}=2,996\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Arredondando com três algarismos significativos:
[\mathrm{H}^+]\approx 3,00\cdot10^{-5}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 5

Checagem por solução rigorosa do equilíbrio (mostra que a aproximação é consistente):
Se chamarmos x=[\mathrm{H}^+] na solução de equilíbrio, a equação exata é
K_a=\frac{x\,(0,15+x)}{0,25-x}.
Substituindo K_a=1,8\cdot10^{-5} e rearranjando obtemos a equação quadrática
x^2+(0,150018)x-4,5\cdot10^{-6}=0.
Resolvendo essa quadrática (fórmula de Bhaskara) dá a raiz positiva
x\approx 3,00\cdot10^{-5}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Ou seja, o valor exato da equação de equilíbrio coincide, dentro de pequenas diferenças numéricas, com o valor obtido pela equação de Henderson–Hasselbalch — isto confirma que a aproximação foi válida.

Resposta

3,00\cdot10^{-5}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}

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