Questão 28. Qual é a concentração de
\mathrm{H}^{+}em cada uma das seguintes soluções a 25^{\circ} \mathrm{C} ?
e) \mathrm{N}_{2} \mathrm{H}_{4} 0,20 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} ; \mathrm{K}_{\mathrm{b}}=1,7 \cdot 10^{-6}

Passo 1

O enunciado pede a concentração de \mathrm{H^{+}} em uma solução de \mathrm{N_2H_4} com concentração inicial 0,20\\ \mathrm{mol\;L^{-1}} a 25^\circ\mathrm{C}. Dados fornecidos e relevantes:
\text{[B]}_0 = 0,20\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}
K_b(\mathrm{N_2H_4}) = 1,7\cdot 10^{-6}
A temperatura 25^\circ\mathrm{C} implica que a constante de ionização da água é
K_w = 1{,}0\cdot 10^{-14}.
Objetivo: encontrar [\mathrm{H^{+}}] nessa solução.

Passo 2

Escrevemos a reação de hidrólise (base protonando água) e definimos as concentrações iniciais e no equilíbrio:
\mathrm{N_2H_4} + \mathrm{H_2O} \rightleftharpoons \mathrm{N_2H_4H^{+}} + \mathrm{OH^{-}}
Seja x a concentração de \mathrm{OH^{-}} formada no equilíbrio. Então:
[\mathrm{OH^{-}}] = x,\quad [\mathrm{N_2H_4H^{+}}] = x,\quad [\mathrm{N_2H_4}] = 0,20 - x.
Explico rápido: começamos com a base neutra \mathrm{N_2H_4} e, ao reagir com água, gera um cátion conjugado e \mathrm{OH^{-}}. A quantidade formada de \mathrm{OH^{-}} é a mesma do cátion conjugado, por estoquiometria 1:1.

Passo 3

A definição da constante básica K_b é
K_b = \frac{[\mathrm{N_2H_4H^{+}}][\mathrm{OH^{-}}]}{[\mathrm{N_2H_4}]}.
Substituindo as expressões em função de x:
1{,}7\cdot 10^{-6} = \frac{x\cdot x}{0,20 - x} = \frac{x^{2}}{0,20 - x}.
Aqui x é a incógnita. Em princípio poderíamos resolver a equação quadrática exata. Porém existe um procedimento prático muito usado em provas: testar a aproximação x \ll 0,20 (ou seja, que pouca base se ioniza). Vou aplicar essa aproximação e depois verificar se ela é válida.

Passo 4

Sob a aproximação x \ll 0,20 temos 0,20 - x \approx 0,20. Assim
x^{2} \approx K_b\cdot 0,20.
Logo
x \approx \sqrt{K_b\cdot 0,20}.
Agora calcule passo a passo:
K_b\cdot 0,20 = 1{,}7\cdot 10^{-6}\times 0,20 = 3{,}4\cdot 10^{-7}.
x \approx \sqrt{3{,}4\cdot 10^{-7}}.
Para calcular a raiz: \sqrt{3{,}4}\approx 1{,}8439 e \sqrt{10^{-7}}=10^{-3{,}5}=3{,}1623\cdot 10^{-4}. Multiplicando:
x \approx 1{,}8439\times 3{,}1623\cdot 10^{-4}\approx 5{,}83\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Portanto estimamos
[\mathrm{OH^{-}}]\approx 5{,}83\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Verificação da aproximação: a fração ionizada é \dfrac{x}{0,20}\approx \dfrac{5{,}83\cdot 10^{-4}}{0,20}=2,915\cdot 10^{-3}=0{,}2915\%, muito pequena (<5%), então a aproximação é válida.

Passo 5

Usamos a relação entre K_w, [\mathrm{H^{+}}] e [\mathrm{OH^{-}}]:
K_w = [\mathrm{H^{+}}][\mathrm{OH^{-}}].
Assim
[\mathrm{H^{+}}]=\frac{K_w}{[\mathrm{OH^{-}}]}=\frac{1{,}0\cdot 10^{-14}}{5{,}83\cdot 10^{-4}}.
Faço a divisão:
\frac{1{,}0\cdot 10^{-14}}{5{,}83\cdot 10^{-4}}=\left(\frac{1{,}0}{5{,}83}\right)\cdot 10^{-14+4} \approx 0{,}1715\cdot 10^{-10}=1{,}715\cdot 10^{-11}.
Arredondando com sentido prático (duas casas significativas, compatível com os dados):
[\mathrm{H^{+}}]\approx 1{,}7\cdot 10^{-11}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Como checagem rápida: podemos calcular pOH=-\log_{10}(5{,}83\cdot 10^{-4})\approx 3{,}234, então pH=14{-}3{,}234=10{,}766 e [\mathrm{H^{+}}]=10^{-pH}\approx 1{,}71\cdot 10^{-11}, consistente com o valor acima.

Resposta

1{,}7\cdot 10^{-11}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}

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