Questão 28: Determine quais dos conjuntos W abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
W subset C[-1,1] tal que as funções em W satisfazem f(-1)=f(1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W=fin C[-1,1]mid f(-1)=f(1)
é um subespaço vetorial de C[-1,1].
Para isso vamos usar o critério clássico de subespaço:
  1. W não é vazio (contém a função zero).
  2. W é fechado sob adição.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que a função zero, f0(x)=0 para todo xin[-1,1], pertence a W pois
f0(-1)=0=f0(1)
Logo Wneqvarnothing.

Passo 3

Sejam f,ginW. Então
f(-1)=f(1) e g(-1)=g(1)
Para a soma h=f+g temos
h(-1)=f(-1)+g(-1) =f(1)+g(1) =h(1),
logo hinW. Assim W é fechado sob adição.

Passo 4

Seja finW e alphainR. Defina h=alpha f. Então
h(-1)=alpha f(-1) =alpha f(1) =h(1),
portanto hinW. Assim W é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

W é um subespaço vetorial de C[-1,1].

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