Questão 29 (ENA-PROFMAT-2012-discursiva). Um engenheiro fará uma passarela de 10 metros de comprimento, ligando a porta da casa ao portão da rua. A passarela terá 1 metro de largura e ele, para revesti-la, dispõe de 10 pedras quadradas de lado 1 metro e 5 pedras retangulares de 1 metro por 2 metros. Todas as pedras são da mesma cor, as pedras de mesmo tamanho são indistinguíveis umas das outras e o rejunte ficará aparente, embora com espessura desprezível. De quantas maneiras ele pode revestir a passarela?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A passarela mede 10 metros de comprimento e 1 metro de largura. Portanto o piso a revestir é um retângulo de 1\times10 metros, que pode ser visto como uma linha de 10 células unitárias (cada célula é 1\times1).
  • Disponíveis:
    • 10 pedras quadradas de lado 1 metro (cada uma ocupa 1 célula).
    • 5 pedras retangulares de 1\times2 metros (cada uma ocupa 2 células consecutivas ao longo do comprimento).
  • As pedras do mesmo tamanho são indistinguíveis entre si.
  • O rejunte tem espessura desprezível (ou seja, as pedras encaixam ideais nas células).
  • Pergunta: De quantas maneiras ele pode revestir a passarela inteira usando as pedras disponíveis?

Passo 2

Modelagem do problema e escolha de variáveis.
  • Como a largura é 1, cada pedra retangular só pode ser colocada ao longo do comprimento, ocupando duas células consecutivas.
  • Seja k o número de pedras retangulares ( 1\times2) efetivamente usadas no revestimento.
  • Cada retangular cobre 2 células, logo as k retangulares cobrem 2k células.
  • O resto das células será coberto por pedras quadradas 1\times1. Seja s o número dessas pedras usadas.
  • A área inteira tem 10 células, então vale a relação
s+2k=10.

Passo 3

Determinar os valores possíveis de k e s.
  • Da relação s+2k=10 obtemos s=10-2k.
  • Como s e k são inteiros não-negativos e há no máximo 5 retangulares disponíveis, k deve satisfazer
0\le k\le 5
e também s\ge0 implica k\le5. Portanto os valores possíveis são k=0,1,2,3,4,5.
  • Observação importante: as quantidades disponíveis ( 10 quadradas e 5 retangulares) são suficientes para qualquer desses k porque s=10-2k\le10 e k\le5.

Passo 4

Contagem para um k fixo: como contar as formas de arranjar k retangulares e s quadradas numa linha.
  • Um revestimento é uma sequência linear de blocos ao longo das 10 células; podemos ver cada peça:
    • cada quadrada como um símbolo S (ocupando 1 célula),
    • cada retangular como um símbolo D (ocupando 2 células).
  • Para um dado k, há s=10-2k símbolos S e k símbolos D. O número de símbolos na sequência é s+k.
  • As pedras são indistinguíveis dentro do mesmo tipo, então cada sequência de símbolos com exatamente k símbolos D e s símbolos S corresponde a uma configuração distinta.
  • O número de sequências distintas com esses símbolos é o número de maneiras de escolher as posições dos k símbolos D entre os s+k posições, isto é o coeficiente binomial
\binom{s+k}{k}.
  • Substituindo s=10-2k obtemos o número de revestimentos com exatamente k retangulares:
\binom{10-k}{k}.
  • (Breve comentário didático: esta fórmula vem porque primeiro se conta o total de símbolos s+k=10-k e se escolhe em quais k dessas posições aparecerão os blocos D; as demais serão S.)

Passo 5

Cálculo dos termos para cada k e soma total.
  • Para k=0:
\binom{10-0}{0}=\binom{10}{0}=1.
  • Para k=1:
\binom{10-1}{1}=\binom{9}{1}=9.
  • Para k=2:
\binom{10-2}{2}=\binom{8}{2}=\frac{8\cdot7}{2}=28.
  • Para k=3:
\binom{10-3}{3}=\binom{7}{3}=\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}=35.
  • Para k=4:
\binom{10-4}{4}=\binom{6}{4}=\binom{6}{2}=\frac{6\cdot5}{2}=15.
  • Para k=5:
\binom{10-5}{5}=\binom{5}{5}=1.
  • Somando todas as possibilidades (para todos os k permitidos):
1+9+28+35+15+1=89.

Passo 6

Interpretação final e comentário pedagógico.
  • Portanto há 89 maneiras de revestir a passarela dadas as disponibilidades.
  • Observação extra (útil para fixar a ideia): se não houvesse limite de retangulares além do limite natural k\le\lfloor 10/2\rfloor, o número de revestimentos seria o mesmo; essa soma é exatamente o valor da sequência de Fibonacci deslocada para o comprimento 10 (essa é outra maneira clássica de ver o problema usando a recorrência T_n=T_{n-1}+T_{n-2}). Mas a razão prática aqui é a contagem por escolhas das posições dos retangulares explicada acima.

Resposta

89

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