Questão 29 (ENA-PROFMAT-2012-discursiva). Um engenheiro fará uma passarela de 10 metros de comprimento, ligando a porta da casa ao portão da rua. A passarela terá 1 metro de largura e ele, para revesti-la, dispõe de 10 pedras quadradas de lado 1 metro e 5 pedras retangulares de 1 metro por 2 metros. Todas as pedras são da mesma cor, as pedras de mesmo tamanho são indistinguíveis umas das outras e o rejunte ficará aparente, embora com espessura desprezível. De quantas maneiras ele pode revestir a passarela?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A passarela mede
metros de comprimento e metro de largura. Portanto o piso a revestir é um retângulo de metros, que pode ser visto como uma linha de células unitárias (cada célula é ). - Disponíveis:
-
pedras quadradas de lado metro (cada uma ocupa célula). -
pedras retangulares de metros (cada uma ocupa células consecutivas ao longo do comprimento).
-
- As pedras do mesmo tamanho são indistinguíveis entre si.
- O rejunte tem espessura desprezível (ou seja, as pedras encaixam ideais nas células).
- Pergunta: De quantas maneiras ele pode revestir a passarela inteira usando as pedras disponíveis?
Passo 2
Modelagem do problema e escolha de variáveis.
- Como a largura é
, cada pedra retangular só pode ser colocada ao longo do comprimento, ocupando duas células consecutivas. - Seja
o número de pedras retangulares ( ) efetivamente usadas no revestimento. - Cada retangular cobre
células, logo as retangulares cobrem células. - O resto das células será coberto por pedras quadradas
. Seja o número dessas pedras usadas. - A área inteira tem
células, então vale a relação
Passo 3
Determinar os valores possíveis de
e
.
- Da relação
obtemos . - Como
e são inteiros não-negativos e há no máximo retangulares disponíveis, deve satisfazer
e também
implica
. Portanto os valores possíveis são
.
- Observação importante: as quantidades disponíveis (
quadradas e retangulares) são suficientes para qualquer desses porque e .
Passo 4
Contagem para um
fixo: como contar as formas de arranjar
retangulares e
quadradas numa linha.
- Um revestimento é uma sequência linear de blocos ao longo das
células; podemos ver cada peça: - cada quadrada como um símbolo
(ocupando 1 célula), - cada retangular como um símbolo
(ocupando 2 células).
- cada quadrada como um símbolo
- Para um dado
, há símbolos e símbolos . O número de símbolos na sequência é . - As pedras são indistinguíveis dentro do mesmo tipo, então cada sequência de símbolos com exatamente
símbolos e símbolos corresponde a uma configuração distinta. - O número de sequências distintas com esses símbolos é o número de maneiras de escolher as posições dos
símbolos entre os posições, isto é o coeficiente binomial
- Substituindo
obtemos o número de revestimentos com exatamente retangulares:
- (Breve comentário didático: esta fórmula vem porque primeiro se conta o total de símbolos
e se escolhe em quais dessas posições aparecerão os blocos ; as demais serão .)
Passo 5
Cálculo dos termos para cada
e soma total.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Somando todas as possibilidades (para todos os
permitidos):
Passo 6
Interpretação final e comentário pedagógico.
- Portanto há
maneiras de revestir a passarela dadas as disponibilidades. - Observação extra (útil para fixar a ideia): se não houvesse limite de retangulares além do limite natural
, o número de revestimentos seria o mesmo; essa soma é exatamente o valor da sequência de Fibonacci deslocada para o comprimento (essa é outra maneira clássica de ver o problema usando a recorrência ). Mas a razão prática aqui é a contagem por escolhas das posições dos retangulares explicada acima.