Questão 28

Enunciado

Uma Indústria fabrica 5 Tipos de balas, que são vendidos em caixas de 20 bolas, de um só tipo ou sortidas. Quantos tipos diferentes de caixa podem ser fabricados?

Passo 1

O enunciado diz que há 5 tipos de balas e cada caixa leva 20 balas, podendo ser todas de um mesmo tipo ou sortidas. Queremos contar de quantas maneiras diferentes podemos montar essas caixas. O conteúdo envolvido é combinações com repetição (ou “estrelas e barras”).

Passo 2

Seja xi o número de balas do tipo i na caixa, para i=1,2,3,4,5. Como o total de balas é 20, temos a condição
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 20,
com cada xi sendo inteiro não negativo.

Passo 3

Pelo método de estrelas e barras, o número de soluções inteiras não negativas de
x1 + x2 + cdots + xk = n
é
binomn + k - 1k - 1
Aqui n=20 e k=5, logo o total de caixas diferentes é
binom20 + 5 - 15 - 1 = binom244

Passo 4

Basta calcular o binomial:
binom244 = 24cdot 23cdot 22cdot 214cdot 3cdot 2cdot 1 = 10626

Resposta

10626

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