Questão 29.
Uma bola de golfe é rebatida de um suporte na borda de um penhasco. Suas coordenadas x e y como funções de tempo são dadas pelas seguintes expressões:
\begin{gathered} x(t)=(18 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) t \\\ y(t)=(4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) t-\left(4,9 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) t^{2} \end{gathered}
a) Escreva uma expressão vetorial para a posição da bola como uma função do tempo, usando os vetores unitários \hat{i} e \hat{j};
b) obtenha as expressões para o vetor velocidade \overrightarrow{\mathbf{v}} como uma função do tempo e para o vetor aceleração \overrightarrow{\mathbf{a}} como uma função do tempo.
c) use a notação do vetor unitário para escrever expressões para a posição, a velocidade e a aceleração da bola de golfe, todas em t=3,00 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá as componentes da posição de uma bola de golfe no referencial \hat{i},\hat{j}:
\;x(t)=(18\,\mathrm{m/s})\,t e
\;y(t)=(4\,\mathrm{m/s})\,t-(4,9\,\mathrm{m/s}^2)\,t^2.
O conteúdo é cinemática vetorial em duas dimensões. Vamos (a) montar o vetor posição \mathbf{r}(t), (b) derivar para obter \mathbf{v}(t) e \mathbf{a}(t), e (c) avaliar tudo em t=3{,}00 s.

Passo 2

Para escrever a posição em notação de vetor unitário, usamos
\mathbf{r}(t)=x(t)\,\hat{i}+y(t)\,\hat{j}.
Substituindo x(t) e y(t),
\mathbf{r}(t)=(18\,\mathrm{m/s})\,t\,\hat{i}+\bigl[(4\,\mathrm{m/s})\,t-(4,9\,\mathrm{m/s}^2)\,t^2\bigr]\hat{j}.

Passo 3

A velocidade é a derivada de \mathbf{r}(t):
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt} =(18\,\mathrm{m/s})\,\hat{i}+\bigl[4\,\mathrm{m/s}-2\,(4,9\,\mathrm{m/s}^2)\,t\bigr]\hat{j} =(18\,\mathrm{m/s})\,\hat{i}+\bigl(4\,\mathrm{m/s}-9,8\,\mathrm{m/s}^2\,t\bigr)\hat{j}.
A aceleração é a derivada de \mathbf{v}(t):
\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt} =0\,\hat{i}-9,8\,\mathrm{m/s}^2\,\hat{j}.

Passo 4

Em t=3{,}00 s, calculamos cada componente:
x(3)=18\cdot3=54\;\mathrm{m}, \quad y(3)=4\cdot3-4,9\cdot3^2=12-44,1=-32,1\;\mathrm{m},
v_x(3)=18\;\mathrm{m/s}, \quad v_y(3)=4-9,8\cdot3=4-29,4=-25,4\;\mathrm{m/s},
a_x(3)=0, \quad a_y(3)=-9,8\;\mathrm{m/s}^2.

Resposta

a) \displaystyle \mathbf{r}(t)=(18\,\mathrm{m/s})\,t\,\hat{i}+\bigl[(4\,\mathrm{m/s})\,t-(4,9\,\mathrm{m/s}^2)\,t^2\bigr]\hat{j}.
b) \displaystyle \mathbf{v}(t)=(18\,\mathrm{m/s})\,\hat{i}+(4\,\mathrm{m/s}-9,8\,\mathrm{m/s}^2\,t)\,\hat{j},\quad \mathbf{a}(t)=0\,\hat{i}-9,8\,\mathrm{m/s}^2\,\hat{j}.
c) \displaystyle \mathbf{r}(3)=(54\,\mathrm{m})\,\hat{i}+(-32,1\,\mathrm{m})\,\hat{j},\quad \mathbf{v}(3)=(18\,\mathrm{m/s})\,\hat{i}+(-25,4\,\mathrm{m/s})\,\hat{j},\quad \mathbf{a}(3)=0\,\hat{i}+(-9,8\,\mathrm{m/s}^2)\,\hat{j}.

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