Questão 29. Calcule a concentração do íon hidrogênio em cada uma das seguintes soluções a 25^{\circ} \mathrm{C} de um ácido ou uma base e seu sal:
d) \mathrm{N}_{2} \mathrm{H}_{4} 0,30 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} ; \mathrm{N}_{2} \mathrm{H}_{5} \mathrm{NO}_{3} 0,50 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} ; \mathrm{K}_{\mathrm{b}}=1,7 \cdot 10^{-6}

Passo 1

O enunciado pede a concentração do íon hidrogênio na solução a 25^\circ\mathrm{C} que contém: \mathrm{N_2H_4} na concentração \;0,30\\ \mathrm{mol\;L^{-1}} e \mathrm{N_2H_5NO_3} na concentração \;0,50\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}. Foi dado o valor de \;K_b=1,7\cdot 10^{-6}.\n
Dados relevantes (retirados do enunciado):
[\mathrm{B}]_{\text{inicial}} = 0,30\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}
[\mathrm{BH^+}]_{\text{inicial}} = 0,50\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}
K_b = 1,7\cdot 10^{-6}
Pergunta: calcular [\mathrm{H^+}] da solução.

Passo 2

Entendendo o sistema (explicação didática): \mathrm{N_2H_4} é uma base fraca que vamos chamar genericamente de B. O sal \mathrm{N_2H_5NO_3} fornece o cátion conjugado \mathrm{N_2H_5^+}, que chamaremos de \mathrm{BH^+}; o ânion \mathrm{NO_3^-} é espectador. A reação de ionização da base em água é:
\mathrm{B} + \mathrm{H_2O} \rightleftharpoons \mathrm{BH^+} + \mathrm{OH^-}.
A constante de equilíbrio K_b é definida por
K_b=\frac{[\mathrm{BH^+}]\,[\mathrm{OH^-}]}{[\mathrm{B}]}.
Como a solução já contém tanto \mathrm{B} quanto \mathrm{BH^+}, temos um tampão base/ácido conjugado — isso permite usar relações diretas entre concentrações e K_b para encontrar [\mathrm{OH^-}] e, daí, [\mathrm{H^+}].

Passo 3

Isolando [\mathrm{OH^-}] na expressão de K_b obtemos a relação prática que usaremos:
[\mathrm{OH^-}] = K_b\;\frac{[\mathrm{B}]}{[\mathrm{BH^+}]}.
Essa fórmula vem apenas de rearranjar K_b=\dfrac{[\mathrm{BH^+}][\mathrm{OH^-}]}{[\mathrm{B}]} para [\mathrm{OH^-}].

Passo 4

Aplicando os valores fornecidos na fórmula de [\mathrm{OH^-}]:
[\mathrm{OH^-}] = 1,7\cdot 10^{-6}\cdot\frac{0,30}{0,50}.
Calcule a fração:
\frac{0,30}{0,50} = 0,60.
Multiplicando:
[\mathrm{OH^-}] = 1,7\cdot 10^{-6}\cdot 0,60 = 1,02\cdot 10^{-6}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
(Nota: estou usando arredondamento na terceira casa significativa, coerente com os dados.)

Passo 5

Agora convertemos [\mathrm{OH^-}] em p\mathrm{OH}. Lembre que
p\mathrm{OH} = -\log[\mathrm{OH^-}].
Assim,
p\mathrm{OH} = -\log\left(1,02\cdot 10^{-6}\right).
Usamos a propriedade do logaritmo:
-\log\left(1,02\cdot 10^{-6}\right) = -\log(1,02) - \log(10^{-6}) = -\log(1,02) + 6.
Como \log(1,02)\approx 0,0086, obtemos
p\mathrm{OH} \approx 6 - 0,0086 = 5,9914 \approx 5,99.

Passo 6

Convertemos p\mathrm{OH} em p\mathrm{H} usando a relação à 25^\circ\mathrm{C}:
p\mathrm{H} + p\mathrm{OH} = 14,00.
Portanto
p\mathrm{H} = 14,00 - 5,99 = 8,01.

Passo 7

Finalmente, calculamos a concentração de íon hidrogênio. A definição é
[\mathrm{H^+}] = 10^{-p\mathrm{H}}.
Ou, equivalentemente, podemos usar K_w=[\mathrm{H^+}][\mathrm{OH^-}]=1,0\cdot 10^{-14} e escrever
[\mathrm{H^+}] = \frac{K_w}{[\mathrm{OH^-}]} = \frac{1,0\cdot 10^{-14}}{1,02\cdot 10^{-6}}.
Calculando:
[\mathrm{H^+}] \approx 9,80\cdot 10^{-9}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.

Passo 8

Verificação rápida da aproximação: o valor de [\mathrm{OH^-}] encontrado ( 1,02\cdot 10^{-6}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}) é muito pequeno em comparação com as concentrações iniciais de \mathrm{B} e \mathrm{BH^+} (0,30 e 0,50), logo a aproximação de usar as concentrações iniciais como equilibradas é válida — o sistema age como um tampão e o método empregado é apropriado.

Resposta

[\mathrm{H^+}] = 9,80\cdot 10^{-9}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}

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