Questão 29: Determine quais dos conjuntos mathbb{W} abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
mathbb{W} \subset C[-1,1] tal que as funções em mathbb{W} satisfazem f(-1)=f(1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se \mathbb{W}=\{\,f\in C[-1,1]\mid f(-1)=f(1)\}
é um subespaço vetorial de C[-1,1].
Para isso, precisamos checar três condições:
  1. \mathbb{W}\neq\emptyset (existe vetor nulo);
  2. fechadura sob soma;
  3. fechadura sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificar se a função zero \,f_0(x)=0, pertence a \mathbb{W}.
Como
f_0(-1)=0 \quad\text{e}\quad f_0(1)=0,
segue que f_0(-1)=f_0(1), logo f_0\in\mathbb{W} e \mathbb{W}\neq\emptyset.

Passo 3

Fechamento sob soma. Seja f,g\in\mathbb{W}. Então
f(-1)=f(1) \quad\text{e}\quad g(-1)=g(1).
Logo, para h=f+g temos
h(-1)=f(-1)+g(-1)=f(1)+g(1)=h(1),
portanto h\in\mathbb{W}.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja \alpha\in\mathbb{R} e f\in\mathbb{W}. Definindo h=\alpha f,
h(-1)=\alpha\,f(-1) \quad\text{e}\quad h(1)=\alpha\,f(1),
e como f(-1)=f(1) segue h(-1)=h(1). Então \alpha f\in\mathbb{W}.

Passo 5

Como \mathbb{W} contém a função zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que \mathbb{W} é subespaço vetorial de C[-1,1].

Resposta

\mathbb{W} é um subespaço vetorial de C[-1,1].

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