Resolver os sistemas abaixo pelo Método de Eliminação de Gauss.
\left\{\begin{array}{c}x+y+z=4 \\\\ 2 x+5 y-2 z=3 \\\ x+7 y-7 z=5\end{array}\right.

Passo 1

Temos o sistema linear
\begin{cases} x + y + z = 4,\\\\ 2x + 5y - 2z = 3,\\\ x + 7y - 7z = 5, \end{cases}
e queremos resolvê-lo pelo método de eliminação de Gauss, que consiste em aplicar operações elementares nas linhas da matriz aumentada para chegar a uma forma triangular e identificar solução ou inconsistência.

Passo 2

Escrevendo a matriz aumentada do sistema, fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4\\\\ 2 & 5 & -2 & 3\\\\ 1 & 7 & -7 & 5 \end{array}\right].

Passo 3

Eliminamos a incógnita x das linhas 2 e 3 usando múltiplos da linha 1:
- L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1
- L_3 \leftarrow L_3 - L_1
O que leva a
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4\\\\ 0 & 3 & -4 & -5\\\\ 0 & 6 & -8 & 1 \end{array}\right].

Passo 4

Agora eliminamos y da linha 3 usando a linha 2:
- L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2
Assim obtemos
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4\\\\ 0 & 3 & -4 & -5\\\\ 0 & 0 & 0 & 11 \end{array}\right].
A última linha diz
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 11,
ou seja \,0 = 11, o que é uma contradição.

Passo 5

Como surge uma equação impossível, o sistema é incompatível e não admite solução.

Resposta

O sistema não tem solução.

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