Resolver os sistemas abaixo pelo Método de Eliminação de Gauss.
\left\{\begin{array}{c}x+y+z=1 \\\ x-y-z=2 \\\\ 2 x+y+z=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} x+y+z=1,\\\ x-y-z=2,\\\\ 2x+y+z=3 \end{cases}
pelo Método de Eliminação de Gauss. Vamos montar a matriz ampliada e aplicar operações elementares para triangularizar e verificar a existência de solução.

Passo 2

Montamos a matriz ampliada do sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & -1 & 2\\\\ 2 & 1 & 1 & 3 \end{array}\right]
Aplicamos as operações
R_2 \leftarrow R_2 - R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 - 2\,R_1
para zerar as entradas abaixo do pivô na coluna 1.

Passo 3

Depois dessas operações obtemos
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & -2 & -2 & 1\\\\ 0 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right].
Agora usamos o pivô -2 em R_2 para zerar o elemento abaixo dele:
R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac12\,R_2 \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & -2 & -2 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac12 \end{array}\right].

Passo 4

A terceira linha passou a representar
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = \tfrac12,
isto é, a equação 0 = \tfrac12, que é uma contradição. Portanto o sistema é inconsistente e não admite solução.

Resposta

O sistema não possui solução.

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