Questão 34. Na cidade de JAGUARIBE alguns animais são realmente esquisitos. Dez por cento dos cães pensam que são gatos e dez por cento dos gatos pensam que são cães. Todos os outros animais são perfeitamente normais. Certo dia todos os cães e gatos de Jaymelândia foram testados por um psicólogo verificando-se que 20 \% deles pensavam que eram gatos. Que porcentagem dos animais eram realmente cães?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Que porcentagem dos animais eram realmente cães?”
Informações dadas (tudo importante listado):
  • Dez por cento dos cães pensam que são gatos. (ou seja, 10\% dos cães confundem-se)
  • Dez por cento dos gatos pensam que são cães. (ou seja, 10\% dos gatos confundem-se)
  • Todos os outros animais são normais (logo os cães restantes pensam que são cães e os gatos restantes pensam que são gatos).
  • Após o teste, verificou-se que 20\% de todos os animais testados pensavam que eram gatos.
    Nenhuma outra informação adicional foi fornecida. A tarefa é usar essas informações para calcular a porcentagem real de animais que são cães.

Passo 2

Vamos traduzir o problema para variáveis para poder montar uma equação. Defino:
  • Seja x a fração (proporção) dos animais que são cães. Isso significa que a porcentagem de cães é 100\cdot x\%.
  • Então a fração dos animais que são gatos é 1-x. (porque só existem cães e gatos nesse universo do problema)
    Explicação didática: usar uma variável para a fração de cães é uma técnica padrão em problemas de porcentagem — transforma o enunciado em equação que podemos resolver. Não é necessário saber x antes; vamos achá-lo.

Passo 3

Agora calculemos a fração total dos animais que pensam que são gatos, expressa em função de x. Há duas contribuições a somar:
  1. Cães que pensam que são gatos: 10\% dos cães, isto é \,0,10x\,.
  2. Gatos que pensam que são gatos: lembre que 10\% dos gatos pensam que são cães, então os outros 90\% dos gatos pensam que são gatos; isso é \,0,90(1-x)\,.
    Como o enunciado diz que, no total, 20\% dos animais pensavam que eram gatos, escrevemos a equação da soma das contribuições igual a 0,20:
0,10x + 0,90(1-x) = 0,20

Passo 4

Agora resolvemos a equação passo a passo. Primeiro expandimos o segundo termo e juntamos termos semelhantes:
0,10x + 0,90 - 0,90x = 0,20
Agrupando os termos em x:
0,90 - 0,80x = 0,20
Isolando o termo com x: subtraio 0,90 dos dois lados:
-0,80x = 0,20 - 0,90
-0,80x = -0,70
Divido ambos os lados por -0,80 para obter x:
x = \frac{-0,70}{-0,80} = \frac{0,70}{0,80}
Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por 0,10 ou reconhecendo 70/80 = 7/8):
x = \frac{7}{8} = 0,875

Passo 5

Interpretação do resultado e checagem de consistência: x=0,875 significa que 87{,}5\% dos animais são cães. Vamos checar somando as contribuições para quem pensa que é gato:
  • Cães que pensam que são gatos: 10\% de 87{,}5\% = 8{,}75\%.
  • Gatos que pensam que são gatos: 90\% de 12{,}5\% (pois 12{,}5\%=100\%-87{,}5\%) = 11{,}25\%.
    Soma: 8{,}75\% + 11{,}25\% = 20{,}00\%, que bate com o enunciado. Tudo consistente.

Passo 6

Conclusão final: a porcentagem de animais que eram realmente cães é 87{,}5\%. Vai tranquilo — quando você ver esse tipo de problema na prova, marque uma variável para a proporção real, escreva as contribuições (quem pensa que é gato vem dos cães confundidos + dos gatos não confundidos) e resolva a equação linear. Você já tem agora o passo a passo para repetir.

Resposta

87{,}5\%

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