Questão 34. Na cidade de JAGUARIBE alguns animais são realmente esquisitos. Dez por cento dos cães pensam que são gatos e dez por cento dos gatos pensam que são cães. Todos os outros animais são perfeitamente normais. Certo dia todos os cães e gatos de Jaymelândia foram testados por um psicólogo verificando-se que
deles pensavam que eram gatos. Que porcentagem dos animais eram realmente cães?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Que porcentagem dos animais eram realmente cães?”
Informações dadas (tudo importante listado):
Informações dadas (tudo importante listado):
- Dez por cento dos cães pensam que são gatos. (ou seja,
dos cães confundem-se) - Dez por cento dos gatos pensam que são cães. (ou seja,
dos gatos confundem-se) - Todos os outros animais são normais (logo os cães restantes pensam que são cães e os gatos restantes pensam que são gatos).
- Após o teste, verificou-se que
de todos os animais testados pensavam que eram gatos.
Nenhuma outra informação adicional foi fornecida. A tarefa é usar essas informações para calcular a porcentagem real de animais que são cães.
Passo 2
Vamos traduzir o problema para variáveis para poder montar uma equação. Defino:
- Seja
a fração (proporção) dos animais que são cães. Isso significa que a porcentagem de cães é . - Então a fração dos animais que são gatos é
. (porque só existem cães e gatos nesse universo do problema)
Explicação didática: usar uma variável para a fração de cães é uma técnica padrão em problemas de porcentagem — transforma o enunciado em equação que podemos resolver. Não é necessário saberantes; vamos achá-lo.
Passo 3
Agora calculemos a fração total dos animais que pensam que são gatos, expressa em função de
. Há duas contribuições a somar:
- Cães que pensam que são gatos:
dos cães, isto é . - Gatos que pensam que são gatos: lembre que
dos gatos pensam que são cães, então os outros dos gatos pensam que são gatos; isso é .
Como o enunciado diz que, no total,dos animais pensavam que eram gatos, escrevemos a equação da soma das contribuições igual a :
Passo 4
Agora resolvemos a equação passo a passo. Primeiro expandimos o segundo termo e juntamos termos semelhantes:
Agrupando os termos em
:
Isolando o termo com
: subtraio
dos dois lados:
Divido ambos os lados por
para obter
:
Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por
ou reconhecendo
):
Passo 5
Interpretação do resultado e checagem de consistência:
significa que
dos animais são cães. Vamos checar somando as contribuições para quem pensa que é gato:
- Cães que pensam que são gatos:
de = . - Gatos que pensam que são gatos:
de (pois ) = .
Soma:, que bate com o enunciado. Tudo consistente.
Passo 6
Conclusão final: a porcentagem de animais que eram realmente cães é
. Vai tranquilo — quando você ver esse tipo de problema na prova, marque uma variável para a proporção real, escreva as contribuições (quem pensa que é gato vem dos cães confundidos + dos gatos não confundidos) e resolva a equação linear. Você já tem agora o passo a passo para repetir.