Questão 30 (ENA-PROFMAT-2011). O campo magnético do sol periodicamente se torna muito mais intenso, aparecem as manchas solares e ocorrem as tempestades que são enormes explosões. Isto dura alguns meses e depois desaparece. Tal fenômeno foi observado pela primeira vez no ano de 1755 e se repete com regularidade a cada 11 anos. A última vez que esse fato ocorreu foi em?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
- Informação 1: O fenômeno foi observado pela primeira vez no ano de
. - Informação 2: O fenômeno se repete a cada
anos (período de anos). - Informação implícita (pela referência do exame): estamos considerando o ano de referência
(prova ENA-PROFMAT-2011).
Pergunta: A última vez que esse fato ocorreu (ou seja, o maior anoem que o fenômeno aconteceu) foi em que ano?
Passo 2
Estratégia (explicando a ideia): como as ocorrências formam uma progressão aritmética de razão
anos com primeiro termo
, qualquer ano em que o fenômeno ocorreu tem a forma
onde
é um inteiro não-negativo. Precisamos achar o maior
tal que
. Isso equivale a achar o maior inteiro
satisfying
Vou resolver essa desigualdade para
.
Passo 3
Subtraindo
dos dois lados da desigualdade para isolar
:
Calcular a diferença no lado direito:
Portanto precisamos de
inteiro com
Passo 4
Dividindo
por
para encontrar o maior
inteiro:
ou seja,
e o resto é
. Logo o maior inteiro
que satisfaz
é
.
Passo 5
Calcular o ano correspondente a
:
Portanto a última ocorrência antes (ou em)
foi em
.
Passo 6
Verificação rápida: a próxima ocorrência seria em
, que é maior que
. Isso confirma que
é realmente a última vez ocorrida até
.
Resposta
2008