Questão 30 (ENA-PROFMAT-2011). O campo magnético do sol periodicamente se torna muito mais intenso, aparecem as manchas solares e ocorrem as tempestades que são enormes explosões. Isto dura alguns meses e depois desaparece. Tal fenômeno foi observado pela primeira vez no ano de 1755 e se repete com regularidade a cada 11 anos. A última vez que esse fato ocorreu foi em?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
  • Informação 1: O fenômeno foi observado pela primeira vez no ano de 1755.
  • Informação 2: O fenômeno se repete a cada 11 anos (período de 11 anos).
  • Informação implícita (pela referência do exame): estamos considerando o ano de referência 2011 (prova ENA-PROFMAT-2011).
    Pergunta: A última vez que esse fato ocorreu (ou seja, o maior ano \le 2011 em que o fenômeno aconteceu) foi em que ano?

Passo 2

Estratégia (explicando a ideia): como as ocorrências formam uma progressão aritmética de razão 11 anos com primeiro termo 1755, qualquer ano em que o fenômeno ocorreu tem a forma
a_n = 1755 + 11n,
onde n é um inteiro não-negativo. Precisamos achar o maior a_n tal que a_n \le 2011. Isso equivale a achar o maior inteiro n satisfying
1755 + 11n \le 2011.
Vou resolver essa desigualdade para n.

Passo 3

Subtraindo 1755 dos dois lados da desigualdade para isolar n:
11n \le 2011 - 1755.
Calcular a diferença no lado direito:
2011 - 1755 = 256.
Portanto precisamos de n inteiro com
11n \le 256.

Passo 4

Dividindo 256 por 11 para encontrar o maior n inteiro:
256 = 11\cdot 23 + 3,
ou seja, 11\cdot 23 = 253 e o resto é 3. Logo o maior inteiro n que satisfaz 11n \le 256 é n=23.

Passo 5

Calcular o ano correspondente a n=23:
a_{23} = 1755 + 11\cdot 23 = 1755 + 253 = 2008.
Portanto a última ocorrência antes (ou em) 2011 foi em 2008.

Passo 6

Verificação rápida: a próxima ocorrência seria em 2008 + 11 = 2019, que é maior que 2011. Isso confirma que 2008 é realmente a última vez ocorrida até 2011.

Resposta

2008

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