Questão 32 (OCZM-N2-2 { }^{\mathrm{a}} fase). Quantos números naturais de três algarismos distintos e não nulos existem tais que a soma de seus algarismos seja ímpar?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantos números naturais de três algarismos distintos e não nulos existem tais que a soma dos seus algarismos seja ímpar.
Informações fornecidas (tiradas do enunciado):
  • O número tem exatamente três algarismos.
  • Cada algarismo é não nulo, ou seja pertence ao conjunto \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}.
  • Os três algarismos são distintos (nenhum se repete).
  • A soma dos três algarismos deve ser ímpar.
Dados úteis que podemos extrair imediatamente:
  • Entre os dígitos 1 a 9 5 dígitos ímpares: 1,3,5,7,9.
  • Entre os dígitos 1 a 9 4 dígitos pares: 2,4,6,8.

Passo 2

Observação sobre paridade da soma: a soma de vários números inteiros é ímpar exatamente quando o número de parcelas ímpares na soma é ímpar. Aplicado aqui, a soma dos três algarismos será ímpar se e somente se o conjunto de algarismos selecionados tiver exatamente 1 algarismo ímpar ou exatamente 3 algarismos ímpares.
Portanto temos duas situações a contar:
  • Caso A: exatamente 1 algarismo ímpar e 2 algarismos pares.
  • Caso B: exatamente 3 algarismos ímpares.
Vou contar separadamente quantos números satisfazem cada caso e depois somo os resultados.

Passo 3

Contagem do Caso A (exatamente 1 ímpar e 2 pares).
Raciocínio passo a passo:
  1. Escolher em qual posição (centena, dezena ou unidade) ficará o algarismo ímpar: 3 escolhas.
  2. Escolher qual será esse algarismo ímpar: 5 escolhas (dos ímpares 1,3,5,7,9).
  3. Para as duas posições restantes (duas posições que ficarão com algarismos pares) é preciso escolher dois dígitos pares distintos dentre os 4 pares disponíveis. Como as duas posições são diferentes (a ordem importa), o número de maneiras de escolher e colocar dois dígitos pares distintos é
P(4,2)=4\cdot 3,
ou seja 4 escolhas para a primeira posição par e, depois de escolhida, 3 para a segunda.
Multiplicando as escolhas (princípio multiplicativo):
\text{números no Caso A} = 3\cdot 5 \cdot (4\cdot 3).ú
Calculemos:
3\cdot 5 \cdot (4\cdot 3) = 3\cdot 5 \cdot 12 = 180.
Explicação intuitiva: para cada posição do ímpar (3), escolho o ímpar (5) e depois ordeno dois pares diferentes nas outras posições (4×3), totalizando 180.

Passo 4

Contagem do Caso B (exatamente 3 ímpares, ou seja todos os três dígitos ímpares).
Raciocínio:
  • É preciso escolher 3 dígitos distintos dentre os 5 ímpares e colocá-los nas três posições (ordem importa). O número de maneiras é a permutação
P(5,3)=5\cdot 4\cdot 3.
Calculemos:
P(5,3)=5\cdot 4\cdot 3 = 60.
Todos esses 60 números são válidos (o primeiro dígito é ímpar não nulo, logo não há problema de começar com zero).

Passo 5

Somando os dois casos (mutuamente exclusivos) obtemos o total de números pedidos:
\text{total} = 180 + 60 = 240.
Checagem rápida (opcional para confiança): o total de números de três algarismos com algarismos distintos e não nulos é
P(9,3)=9\cdot 8\cdot 7 = 504.
Distribuindo por número de dígitos ímpares:
  • 0 ímpares (todos pares): P(4,3)=4\cdot 3\cdot 2=24.
  • 1 ímpar: já calculado 180.
  • 2 ímpares: pode verificar que dá 240.
  • 3 ímpares: 60.
    Somando 24+180+240+60=504, consistente; e a soma dos casos com soma ímpar é 180+60=240, confirmando o resultado.
Força aí — está feito, manda ver na prova!

Resposta

240

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