Questão 32 (OCZM-N2-2
fase). Quantos números naturais de três algarismos distintos e não nulos existem tais que a soma de seus algarismos seja ímpar?
Passo 1
O enunciado pede: contar quantos números naturais de três algarismos distintos e não nulos existem tais que a soma dos seus algarismos seja ímpar.
Informações fornecidas (tiradas do enunciado):
- O número tem exatamente três algarismos.
- Cada algarismo é não nulo, ou seja pertence ao conjunto
. - Os três algarismos são distintos (nenhum se repete).
- A soma dos três algarismos deve ser ímpar.
Dados úteis que podemos extrair imediatamente:
- Entre os dígitos
a há dígitos ímpares: . - Entre os dígitos
a há dígitos pares: .
Passo 2
Observação sobre paridade da soma: a soma de vários números inteiros é ímpar exatamente quando o número de parcelas ímpares na soma é ímpar. Aplicado aqui, a soma dos três algarismos será ímpar se e somente se o conjunto de algarismos selecionados tiver exatamente
algarismo ímpar ou exatamente
algarismos ímpares.
Portanto temos duas situações a contar:
- Caso A: exatamente
algarismo ímpar e algarismos pares. - Caso B: exatamente
algarismos ímpares.
Vou contar separadamente quantos números satisfazem cada caso e depois somo os resultados.
Passo 3
Contagem do Caso A (exatamente
ímpar e
pares).
Raciocínio passo a passo:
- Escolher em qual posição (centena, dezena ou unidade) ficará o algarismo ímpar:
escolhas. - Escolher qual será esse algarismo ímpar:
escolhas (dos ímpares ). - Para as duas posições restantes (duas posições que ficarão com algarismos pares) é preciso escolher dois dígitos pares distintos dentre os
pares disponíveis. Como as duas posições são diferentes (a ordem importa), o número de maneiras de escolher e colocar dois dígitos pares distintos é
ou seja
escolhas para a primeira posição par e, depois de escolhida,
para a segunda.
Multiplicando as escolhas (princípio multiplicativo):
Calculemos:
Explicação intuitiva: para cada posição do ímpar (3), escolho o ímpar (5) e depois ordeno dois pares diferentes nas outras posições (4×3), totalizando
.
Passo 4
Contagem do Caso B (exatamente
ímpares, ou seja todos os três dígitos ímpares).
Raciocínio:
- É preciso escolher
dígitos distintos dentre os ímpares e colocá-los nas três posições (ordem importa). O número de maneiras é a permutação
Calculemos:
Todos esses
números são válidos (o primeiro dígito é ímpar não nulo, logo não há problema de começar com zero).
Passo 5
Somando os dois casos (mutuamente exclusivos) obtemos o total de números pedidos:
Checagem rápida (opcional para confiança): o total de números de três algarismos com algarismos distintos e não nulos é
Distribuindo por número de dígitos ímpares:
-
ímpares (todos pares): . -
ímpar: já calculado . -
ímpares: pode verificar que dá . -
ímpares: .
Somando, consistente; e a soma dos casos com soma ímpar é , confirmando o resultado.
Força aí — está feito, manda ver na prova!
Resposta
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