Questão 29. As equações de Maxwell, que formam os princípios matemáticos do eletromagnetismo, se resumem a quatro equações diferenciais parciais (na forma vetorial)
onde
e
são os campos elétrico e magnético, respectivamente,
é a densidade de cargas e
é o vetor densidade de corrente. Os parâmetros
e
são a permessividade e a permeabilidade do vácuo, respectivamente.
No caso especial, numa região do espaço onde não haja distribuição de cargas ou correntes, as equações de Maxwell se reduzem a
Ao tomar o rotacional das duas últimas equações, e usando a identidade vetorial
obtemos
Usando novamente as equações de Maxwell (11) a (14), concluímos que os campos elétrico e magnético, no vácuo, são soluções da mesma equação de onda
cuja velocidade de propagação é a velocidade da luz no vácuo:
Concluímos que as componentes dos campos elétrico e magnético se propagam, no vácuo, segundo as soluções da equação da onda, resolvida na Questão 28.
Passo 1
O enunciado mostra as equações de Maxwell no vácuo, sem cargas nem correntes, e pede para mostrar que os campos elétrico
e magnético
satisfazem a equação de onda e propagam-se à velocidade
Vamos usar a identidade vetorial
e as equações de Maxwell reduzidas
Passo 2
Tomamos o rotacional da equação de Faraday
:
Passo 3
Aplicando a identidade vetorial ao lado esquerdo:
Como
, simplifica para
Passo 4
Substituímos
no lado direito:
Passo 5
De modo análogo, tomamos o rotacional de
e aplicamos a identidade vetorial usando
e
. O resultado é
Passo 6
Comparando com a equação de onda padrão
vemos que
. Logo a velocidade de propagação é
Resposta
As componentes de
e
satisfazem
ou seja, a equação da onda com velocidade