Questão 29. As equações de Maxwell, que formam os princípios matemáticos do eletromagnetismo, se resumem a quatro equações diferenciais parciais (na forma vetorial)
\begin{aligned} \nabla \cdot \vec{E} & =\frac{\rho}{\varepsilon_{0}} \\\ \nabla \cdot \vec{B} & =0 \\\ \nabla \times \vec{E} & =-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\\ \nabla \times \vec{B} & =\mu_{0}\left(\vec{J}+\varepsilon_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right) \end{aligned}
onde \vec{E} e \vec{B} são os campos elétrico e magnético, respectivamente, \rho é a densidade de cargas e \vec{J} é o vetor densidade de corrente. Os parâmetros \varepsilon_{0}=8.8541878188 \times 10^{-12} \mathrm{~F} \cdot \mathrm{~m}^{-1} e \mu_{0}=1.25663706127 \times 10^{-6} \mathrm{~N} \cdot A^{-2} são a permessividade e a permeabilidade do vácuo, respectivamente.
No caso especial, numa região do espaço onde não haja distribuição de cargas ou correntes, as equações de Maxwell se reduzem a
\begin{aligned} \nabla \cdot \vec{E} & =0 \\\ \nabla \cdot \vec{B} & =0 \\\ \nabla \times \vec{E} & =-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\\ \nabla \times \vec{B} & =\mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{aligned}
Ao tomar o rotacional das duas últimas equações, e usando a identidade vetorial
\nabla \times(\nabla \times \vec{A})=\nabla(\nabla \cdot \vec{A})-\nabla^{2} \vec{A},
obtemos
\begin{aligned} \nabla(\nabla \cdot \vec{E})-\nabla^{2} \vec{E} & =-\frac{\partial}{\partial t} \nabla \times \vec{B} \\\ \nabla(\nabla \cdot \vec{B})-\nabla^{2} \vec{B} & =\mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{\partial}{\partial t} \nabla \times \vec{E} \end{aligned}
Usando novamente as equações de Maxwell (11) a (14), concluímos que os campos elétrico e magnético, no vácuo, são soluções da mesma equação de onda
\begin{aligned} \frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0}} \nabla^{2} \vec{E} & =\frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}} \\\ \frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0}} \nabla^{2} \vec{B} & =\frac{\partial^{2} \vec{B}}{\partial t^{2}} \end{aligned}
cuja velocidade de propagação é a velocidade da luz no vácuo:
c=1 / \sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}=299792458 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
Concluímos que as componentes dos campos elétrico e magnético se propagam, no vácuo, segundo as soluções da equação da onda, resolvida na Questão 28.

Passo 1

O enunciado mostra as equações de Maxwell no vácuo, sem cargas nem correntes, e pede para mostrar que os campos elétrico \vec{E} e magnético \vec{B} satisfazem a equação de onda e propagam-se à velocidade
c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\,\varepsilon_{0}}}\,.
Vamos usar a identidade vetorial
\nabla\times(\nabla\times \vec{A}) = \nabla(\nabla\cdot \vec{A}) - \nabla^{2}\vec{A}
e as equações de Maxwell reduzidas
\begin{aligned} \nabla\cdot \vec{E} &=0, & \nabla\times \vec{E} &=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t},\\\ \nabla\cdot \vec{B} &=0, & \nabla\times \vec{B} &=\mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}. \end{aligned}

Passo 2

Tomamos o rotacional da equação de Faraday \nabla\times \vec{E} = -\partial\vec{B}/\partial t:
\nabla\times(\nabla\times \vec{E}) = -\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\times \vec{B}\bigr).

Passo 3

Aplicando a identidade vetorial ao lado esquerdo:
\nabla(\nabla\cdot \vec{E}) - \nabla^{2}\vec{E} = -\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\times \vec{B}\bigr).
Como \nabla\cdot \vec{E}=0, simplifica para
-\,\nabla^{2}\vec{E} = -\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\times \vec{B}\bigr).

Passo 4

Substituímos \nabla\times \vec{B}=\mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\partial\vec{E}/\partial t no lado direito:
-\,\nabla^{2}\vec{E} = -\mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \nabla^{2}\vec{E} = \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}.

Passo 5

De modo análogo, tomamos o rotacional de \nabla\times \vec{B}=\mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\partial\vec{E}/\partial t e aplicamos a identidade vetorial usando \nabla\cdot \vec{B}=0 e \nabla\times \vec{E}=-\partial\vec{B}/\partial t. O resultado é
\nabla^{2}\vec{B} = \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{B}}{\partial t^{2}}.

Passo 6

Comparando com a equação de onda padrão
\nabla^{2}\Psi = \frac{1}{v^{2}}\,\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial t^{2}},
vemos que v^{2}=1/(\mu_{0}\,\varepsilon_{0}). Logo a velocidade de propagação é
c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\,\varepsilon_{0}}} = 299\,792\,458\;\mathrm{m/s}.

Resposta

As componentes de \vec{E} e \vec{B} satisfazem
\nabla^{2}\vec{E} = \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}, \quad \nabla^{2}\vec{B} = \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{B}}{\partial t^{2}},
ou seja, a equação da onda com velocidade
c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\,\varepsilon_{0}}}\,.

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