Questão 2. (40 pontos) O problema da condução de calor, homogêneo, em uma barra de comprimento
, é dado pela equação diferencial parcial
com as condições de contorno
e
, sendo
a temperatura inicial da barra.
(a) (30 pontos) Use o método da separação de variáveis para obter a solução deste problema como uma série formal.
(b) (
pontos) Use o resultado do item (a) para resolver o problema da condução de calor com condições de contorno
e
.
(a) (30 pontos) Use o método da separação de variáveis para obter a solução deste problema como uma série formal.
(b) (
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema da condução de calor homogênea numa barra de comprimento
, satisfaça
com condições de contorno homogêneas
e condição inicial
O método que vamos usar é separação de variáveis e expansão em série de senos (Séries de Fourier).
Passo 2
Assumimos solução do tipo
Substituindo na equação e dividindo por
obtemos
onde
é constante de separação. Isso gera dois ODEs:
Passo 3
Da condição
só existem soluções não-triviais se
Logo os autovalores são
e as autofunções espaciais correspondentes são
Passo 4
Para cada
, a parte temporal satisfaz
Assim as soluções separadas são
Passo 5
Pela linearidade, a solução geral é
Para satisfazer
expandimos
em série de senos:
onde
Passo 6
Resposta do item (a):
Passo 7
Para o item (b) com
,
, fazemos mudança de variável estacionária
e definimos
. Então
satisfaz condição homogênea
e equação do calor igual, com condição inicial
Aplicamos o resultado do item (a) a
usando
.
Resposta
(a)
(b)
com
.