Questão 2. (40 pontos) O problema da condução de calor, homogêneo, em uma barra de comprimento L>0, é dado pela equação diferencial parcial
\alpha^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\frac{\partial u}{\partial t}
com as condições de contorno u(t, 0)=u(t, L)=0 e u(0, x)=f(x), sendo f(x) a temperatura inicial da barra.
(a) (30 pontos) Use o método da separação de variáveis para obter a solução deste problema como uma série formal.
(b) ( \mathbf{1 0} pontos) Use o resultado do item (a) para resolver o problema da condução de calor com condições de contorno u(t, 0)=T_{1}, u(t, L)=T_{2} e u(0, x)=f(x).

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema da condução de calor homogênea numa barra de comprimento L>0, satisfaça
\alpha^{2}\,\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} \;=\;\frac{\partial u}{\partial t},
com condições de contorno homogêneas
u(t,0)=0,\quad u(t,L)=0
e condição inicial
u(0,x)=f(x).
O método que vamos usar é separação de variáveis e expansão em série de senos (Séries de Fourier).

Passo 2

Assumimos solução do tipo
u(t,x)=T(t)\,X(x).
Substituindo na equação e dividindo por T(t)X(x) obtemos
\alpha^{2}\,\frac{X''(x)}{X(x)} \;=\;\frac{T'(t)}{T(t)} = -\lambda
onde \lambda é constante de separação. Isso gera dois ODEs:
X''+\frac{\lambda}{\alpha^{2}}\,X=0, \qquad T'+\lambda\,T=0.

Passo 3

Da condição X(0)=X(L)=0 só existem soluções não-triviais se
\frac{\lambda}{\alpha^{2}} = \Bigl(\frac{n\pi}{L}\Bigr)^{2}, \quad n=1,2,3,\dots
Logo os autovalores são
\lambda_{n} = \alpha^{2}\,\Bigl(\frac{n\pi}{L}\Bigr)^{2}
e as autofunções espaciais correspondentes são
X_{n}(x)=\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr).

Passo 4

Para cada n, a parte temporal satisfaz
T_{n}' + \lambda_{n}T_{n}=0 \quad\Longrightarrow\quad T_{n}(t)=A_{n}\,\exp\!\bigl(-\lambda_{n}\,t\bigr).
Assim as soluções separadas são
u_{n}(t,x)=A_{n}\,\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr)\, \exp\!\Bigl(-\alpha^{2}\,\tfrac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}}\,t\Bigr).

Passo 5

Pela linearidade, a solução geral é
u(t,x)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\, \sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr)\, \exp\!\Bigl(-\alpha^{2}\,\tfrac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}}\,t\Bigr).
Para satisfazer u(0,x)=f(x) expandimos f em série de senos:
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\,\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr),
onde
A_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\, \sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr)\,dx.

Passo 6

Resposta do item (a):
u(t,x) =\sum_{n=1}^{\infty} \Bigl[\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(s)\, \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi s}{L}\bigr)\,ds\Bigr]\, \sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr)\, \exp\!\Bigl(-\alpha^{2}\,\tfrac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}}\,t\Bigr).

Passo 7

Para o item (b) com u(t,0)=T_{1}, u(t,L)=T_{2}, fazemos mudança de variável estacionária
W(x)=T_{1} + \frac{T_{2}-T_{1}}{L}\,x,
e definimos v(t,x)=u(t,x)-W(x). Então v satisfaz condição homogênea v(t,0)=v(t,L)=0 e equação do calor igual, com condição inicial
v(0,x)=f(x)-W(x).
Aplicamos o resultado do item (a) a v usando f(x)-W(x).

Resposta

(a)
u(t,x) =\sum_{n=1}^{\infty} \Bigl[\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(s)\, \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi s}{L}\bigr)\,ds\Bigr]\, \sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr)\, \exp\!\Bigl(-\alpha^{2}\,\tfrac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}}\,t\Bigr).
(b)
u(t,x) = T_{1} + \frac{T_{2}-T_{1}}{L}\,x \;+\; \sum_{n=1}^{\infty} \Bigl[\frac{2}{L}\int_{0}^{L}\bigl(f(s)-W(s)\bigr)\, \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi s}{L}\bigr)\,ds\Bigr]\, \sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr)\, \exp\!\Bigl(-\alpha^{2}\,\tfrac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}}\,t\Bigr),
com W(x)=T_{1}+\tfrac{T_{2}-T_{1}}{L}x.

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