Responda as seguintes questões:
Determine se as sequências são convergentes ou divergentes
f(n)=\left(1+\frac{1}{3 n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da sequência
f(n) = \Bigl(1 + \frac{1}{3n}\Bigr)^{n}.
O conteúdo envolve limites de sequências do tipo \bigl(1+\tfrac{1}{x}\bigr)^{x}, cujo resultado clássico é e. Vamos usar essa propriedade para verificar se f(n) converge e, em caso afirmativo, achar seu limite.

Passo 2

Reescrevemos f(n) de forma a encaixar o limite conhecido. Observe que
f(n) = \Bigl(1 + \frac{1}{3n}\Bigr)^{n} = \Bigl[\Bigl(1 + \frac{1}{3n}\Bigr)^{3n}\Bigr]^{\tfrac{1}{3}}.

Passo 3

Sabemos do limite fundamental que
\lim_{m\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{m}\Bigr)^{m} = e.
Aqui basta identificar m = 3n. Logo,
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{3n}\Bigr)^{3n} = e.
Como a função x\mapsto x^{1/3} é contínua para x>0, obtemos
\lim_{n\to\infty}f(n) = \lim_{n\to\infty}\Bigl[\Bigl(1+\frac{1}{3n}\Bigr)^{3n}\Bigr]^{\tfrac{1}{3}} = e^{\tfrac{1}{3}}.

Passo 4

Concluímos que a sequência \bigl(f(n)\bigr) é convergente e seu limite é e^{1/3}.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{3n}\Bigr)^{n} = e^{\tfrac{1}{3}}.

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