Questão 3. (30 pontos) A equação diferencial parcial da onda tem a forma
onde a
é a velocidade de propagação da onda. A solução geral desta equação para uma corda que está fixa nas extremidades, como feito em aula, é dada por
Resolva a equação de onda com
as condições de contorno
e
, onde
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação de onda
em
condições iniciais
e
O método consiste em usar separação de variáveis e expandir (f(x)] numa série de senos.
Passo 2
Pela separação de variáveis e aplicação de
, obtemos a forma geral
Com
e
isso vira
Como
, temos
para todo
.
Passo 3
A condição
implica
Os coeficientes
vêm da fórmula da série de senos em
:
Devido à definição de
, dividimos essa integral em duas partes:
Passo 4
Aplicando integração por partes em
e em
e somando, encontra-se
Assim
Passo 5
Observamos que
se
é par e
. Logo só aparecem termos de índice
. Definitivamente,