Questão 3. (30 pontos) A equação diferencial parcial da onda tem a forma
a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}},
onde a >0 é a velocidade de propagação da onda. A solução geral desta equação para uma corda que está fixa nas extremidades, como feito em aula, é dada por
u(t, x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi}{L} x\right)\left(a_{n} \cos \left(\frac{n \pi a}{L} t\right)+b_{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi a}{L} t\right)\right)
Resolva a equação de onda com a=2, L=1 e as condições de contorno u(t, 0)= u(t, L)=0, u(0, x)=f(x) e \partial_{t} u(0, x)=0, onde
\begin{gathered} f(x)=\left\{\begin{array}{l} 2 x, \quad 0<x<1 / 2 \\\\ 2(1-x), \quad 1 / 2<x<1 \end{array}\right. \\\ f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} \cos \left(\frac{n \pi}{L} x\right)+b_{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi}{L} x\right) \\\ a_{n}=\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos \left(\frac{n \pi}{L} x\right) d x, \quad b_{n}=\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi}{L} x\right) d x \\\ \left\{\begin{array}{l} X^{\prime \prime}(x)=\lambda X(x) \\\ X(0)=X(L)=0 \end{array} \Rightarrow \lambda=-\left(\frac{n \pi}{L}\right)^{2}, \quad X_{n}(x)=\operatorname{sen}\left(\frac{n \pi}{L} x\right)\right. \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação de onda
u_{tt}=4\,u_{xx}
em 0<x<1\) com as condições de contorno \[u(t,0)=u(t,1)=0,
condições iniciais
u(0,x)=f(x),\quad u_{t}(0,x)=0,
e
f(x)= \begin{cases} 2x,&0<x<\tfrac12,\\\\ 2(1-x),&\tfrac12<x<1. \end{cases}
O método consiste em usar separação de variáveis e expandir (f(x)] numa série de senos.

Passo 2

Pela separação de variáveis e aplicação de u(t,0)=u(t,1)=0, obtemos a forma geral
u(t,x) =\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(A_{n}\cos\!\bigl(n\pi a t/L\bigr)+B_{n}\sin\!\bigl(n\pi a t/L\bigr)\Bigr)\sin\!\bigl(n\pi x/L\bigr).
Com a=2 e L=1 isso vira
u(t,x) =\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(A_{n}\cos(2n\pi t)+B_{n}\sin(2n\pi t)\bigr)\sin(n\pi x).
Como u_{t}(0,x)=0, temos B_{n}=0 para todo n.

Passo 3

A condição u(0,x)=f(x) implica
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\sin(n\pi x).
Os coeficientes A_{n} vêm da fórmula da série de senos em [0,1]:
A_{n}=2\int_{0}^{1}f(x)\,\sin(n\pi x)\,dx.
Devido à definição de f, dividimos essa integral em duas partes:
I_{1}=\int_{0}^{1/2}2x\,\sin(n\pi x)\,dx, \quad I_{2}=\int_{1/2}^{1}2(1-x)\,\sin(n\pi x)\,dx.

Passo 4

Aplicando integração por partes em I_{1} e em I_{2} e somando, encontra-se
I_{1}+I_{2} =\frac{4}{n^{2}\pi^{2}}\, \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr).
Assim
A_{n} =2\bigl(I_{1}+I_{2}\bigr) =\frac{8}{n^{2}\pi^{2}} \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr).

Passo 5

Observamos que \sin(n\pi/2)=0 se n é par e \sin((2k+1)\pi/2)=(-1)^k. Logo só aparecem termos de índice n=2k+1. Definitivamente,
u(t,x) =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{8(-1)^k}{(2k+1)^2\pi^2}\, \cos\!\bigl(2(2k+1)\pi t\bigr)\, \sin\!\bigl((2k+1)\pi x\bigr).

Resposta

\boxed{ u(t,x) =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{8(-1)^k}{(2k+1)^2\pi^2}\, \cos\!\bigl(2(2k+1)\pi t\bigr)\, \sin\!\bigl((2k+1)\pi x\bigr). }

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