Responda as seguintes questões:
Determine se as sequências são convergentes ou divergentes
f(n)=\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}-n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência
f(n) = \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1} - n}
é convergente ou divergente. Vamos usar manipulação algébrica (racionalização do denominador) e depois calcular o limite quando n\to\infty.

Passo 2

Racionalizamos o denominador de
f(n) = \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1} - n}
multiplicando numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{n^{2}+1}+n:
f(n) = \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1} - n}\cdot\frac{\sqrt{n^{2}+1}+n}{\sqrt{n^{2}+1}+n} = \frac{\sqrt{n^{2}+1}+n}{(\sqrt{n^{2}+1})^{2} - n^{2}} = \frac{\sqrt{n^{2}+1}+n}{n^{2}+1 - n^{2}} = \sqrt{n^{2}+1} + n.

Passo 3

Para estudar
\sqrt{n^{2}+1} + n
quando n\to\infty, escrevemos
\sqrt{n^{2}+1} = n\sqrt{1+\tfrac{1}{n^{2}}} = n\Bigl(1 + \tfrac{1}{2n^{2}} + o(\tfrac{1}{n^{2}})\Bigr) = n + \tfrac{1}{2n} + o(\tfrac{1}{n}).
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f(n) = \sqrt{n^{2}+1} + n = 2n + \tfrac{1}{2n} + o(\tfrac{1}{n}).

Passo 4

Como 2n + \tfrac{1}{2n} + o(\tfrac{1}{n})\to +\infty quando n\to\infty, a sequência não se aproxima de número finito.

Resposta

A sequência diverge para +\infty.

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