Questão 31. Uma variável aleatória X distribui-se normalmente com média 80 e variância 9 . Calcule o intervalo central que contém:
99 \% dos valores da variável.

Passo 1

O enunciado dá que a variável aleatória X é normalmente distribuída com média 80 e variância 9. O que nos pedem é: calcular o intervalo central que contém 99\% dos valores de X.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{média } \mu = 80,\qquad \text{variância } \sigma^2 = 9.éâ
Da variância obtemos o desvio-padrão:
\sigma = \sqrt{9} = 3.

Passo 2

O que significa “intervalo central que contém 99\% dos valores”?
Significa um intervalo simétrico em torno da média \mu tal que a probabilidade de X cair dentro dele seja 0{,}99. Em notação:
P\big(\mu - d \le X \le \mu + d\big) = 0{,}99,
onde d>0 é a “margem” que vamos encontrar.

Passo 3

Para trabalhar com a normal padrão, padronizamos X. Definimos a variável padrão
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Como o intervalo é simétrico em torno de \mu, isso equivale a encontrar z_0>0 tal que
P(-z_0 \le Z \le z_0)=0{,}99.
Pela simetria da normal padrão, a cauda superior corresponderá a probabilidade 0{,}5+(0{,}99/2)=0{,}995. Logo queremos o quantil
z_0 = z_{0{,}995},
onde z_{p} é tal que P(Z\le z_{p})=p.

Passo 4

Usamos tabela da normal padrão ou função inversa da normal (no cálculo há tabelas/softwares) para obter
z_{0{,}995}\approx 2{,}5758.
Isso significa que P(-2{,}5758\le Z\le 2{,}5758)\approx 0{,}99.

Passo 5

Voltando para X, a margem d é
d = z_0\cdot\sigma = 2{,}5758 \times 3 = 7{,}7274.

Passo 6

Portanto o intervalo central em torno da média é
\big[\mu - d,\; \mu + d\big] = \big[80 - 7{,}7274,\; 80 + 7{,}7274\big] = \big[72{,}2726,\; 87{,}7274\big].
Arredondando para duas casas decimais (útil na prova), obtemos
\big[72{,}27,\;87{,}73\big].

Resposta

\displaystyle [72{,}27,\;87{,}73]

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