Questão 31. Uma variável aleatória X distribui-se normalmente com média 80 e variância 9 . Calcule o intervalo central que contém:
dos valores da variável.
Passo 1
O enunciado dá que a variável aleatória
é normalmente distribuída com média
e variância
. O que nos pedem é: calcular o intervalo central que contém
dos valores de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Da variância obtemos o desvio-padrão:
Passo 2
O que significa “intervalo central que contém
dos valores”?
Significa um intervalo simétrico em torno da média tal que a probabilidade de
cair dentro dele seja
. Em notação:
Significa um intervalo simétrico em torno da média
onde
é a “margem” que vamos encontrar.
Passo 3
Para trabalhar com a normal padrão, padronizamos
. Definimos a variável padrão
Como o intervalo é simétrico em torno de
, isso equivale a encontrar
tal que
Pela simetria da normal padrão, a cauda superior corresponderá a probabilidade
. Logo queremos o quantil
onde
é tal que
.
Passo 4
Usamos tabela da normal padrão ou função inversa da normal (no cálculo há tabelas/softwares) para obter
Isso significa que
.
Passo 5
Voltando para
, a margem
é
Passo 6
Portanto o intervalo central em torno da média é
Arredondando para duas casas decimais (útil na prova), obtemos