Questão 29

Seja
X=(x1, x2): x1-x2 <= 3,-x1+3 x2 <= 3, x1 >=-3
(1) Encontre todos os pontos extremos de X.
(2) Represente x=(1,1) como uma combinação convexa desses pontos extremos.

Passo 1

O enunciado define a região
X = (x1,x2) mid x1-x2<=3,;-x1+3x2<=3,;x1>=-3
em R^2. Como é interseção de semiespaços, X é um polígono convexo. Os pontos extremos (vértices) são as interseções de cada par de fronteiras ativas:
L1:,x1-x2=3, L2:,-x1+3x2=3, L3:,x1=-3

Passo 2

Calculemos todas as interseções de duas a duas:
  1. [\implies)
Denotemos .
  1. :
Denotemos .
  1. :
Denotemos .

Passo 3

Verificamos que A, B e C satisfazem todas as desigualdades originais, logo são os vértices de X. Portanto,
Ext(X)=(-3,0),,(-3,-6),,(6,3)

Passo 4

Queremos escrever
com e . Das componentes:
Resolvendo dá , , que somam 1 e são não negativas.

Resposta

(1) Os pontos extremos são
(-3,0),(-3,-6),(6,3)
(2) Uma decomposição convexa de (1,1) é
(1,1)=tfrac118(-3,0)+tfrac12(-3,-6)+tfrac49(6,3)

Exercícios relacionados