Questão 30

Seja a1, a2, ldots, an uma base do R^n e b in R^n tal que b=sumj=1^n lambdaj aj.
(1) Se lambdak neq 0 para algum k in1,2, ldots, n, então ao se trocar ak por b as colunas [a1, a2, ldots, ak-1, b, ak+1, ldots, an] formam uma base do R^n.
(2) Se ao se trocar ak, k in1,2, ldots, n, por b temos que as colunas [a1, a2, ldots, ak-1, b, ak+1, ldots, an] formam uma base do R^n, então temos que lambdak neq 0.

Passo 1

Temos um conjunto a1,dots,an que forma uma base de R^n. Logo esses vetores são linearmente independentes e geram todo R^n. Seja ainda
b = sumj=1^n lambdaj,aj
Queremos mostrar dois itens:
  1. Se lambdakneq0, então ao trocar ak por b obtemos outra base de R^n.
  2. Se a troca de ak por b produz uma base, então necessariamente lambdakneq0.

Passo 2

Prova de (1): suponha lambdakneq0. Considere uma combinação linear
sumineq k ci,ai ;+; ck,b ;=;0
Substituindo b=sumj=1^nlambdajaj obtenho
sumineq k ci,ai ;+; cksumj=1^nlambdajaj ;=; sumj=1^nl(cj + cklambdajr),aj ;=;0
Como a1,dots,an é LI, todos os coeficientes devem ser zero:
cj + ck,lambdaj=0(forall jneq k), ck,lambdak=0
Mas lambdakneq0 implica ck=0, e daí cj=0 para todo j. Concluímos que a1,dots,ak-1,b,ak+1,dots,an é linearmente independente.

Passo 3

Qualquer conjunto de n vetores linearmente independentes em R^n forma uma base. Logo, sob a hipótese lambdakneq0, a substituição de ak por b resulta em uma base.

Passo 4

Prova de (2): provamos o contrarrecíproco. Se lambdak=0, então
b = sumjneq klambdaj,aj,
ou seja, b fica no espaço gerado por a1,dots,ak-1,ak+1,dots,an. Assim esse conjunto mais b é linearmente dependente e não pode ser base. Portanto, se ao trocar ak por b obtém-se de fato uma base, deve ocorrer lambdakneq0.

Resposta

Demonstrei que
(1) se lambdakneq0 a troca gera uma base,
e
(2) se a troca gera uma base então lambdakneq0.

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