Questão 30
Seja
uma base do
e
tal que
.
(1) Se
para algum
, então ao se trocar
por
as colunas
formam uma base do
.
(2) Se ao se trocar
, por
temos que as colunas
formam uma base do
, então temos que
.
(1) Se
(2) Se ao se trocar
Passo 1
Temos um conjunto
que forma uma base de
. Logo esses vetores são linearmente independentes e geram todo
. Seja ainda
Queremos mostrar dois itens:
- Se
, então ao trocar por obtemos outra base de . - Se a troca de
por produz uma base, então necessariamente .
Passo 2
Prova de (1): suponha
. Considere uma combinação linear
Substituindo
obtenho
Como
é LI, todos os coeficientes devem ser zero:
Mas
implica
, e daí
para todo
. Concluímos que
é linearmente independente.
Passo 3
Qualquer conjunto de
vetores linearmente independentes em
forma uma base. Logo, sob a hipótese
, a substituição de
por
resulta em uma base.
Passo 4
Prova de (2): provamos o contrarrecíproco. Se
, então
ou seja,
fica no espaço gerado por
. Assim esse conjunto mais
é linearmente dependente e não pode ser base. Portanto, se ao trocar
por
obtém-se de fato uma base, deve ocorrer
.
Resposta
Demonstrei que
(1) se a troca gera uma base,
e
(2) se a troca gera uma base então .
(1) se
e
(2) se a troca gera uma base então