Questão 5.Dada a aplicação T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por T(x, y)=(3 x, y) .
(a)(Vale 1.0 ponto)Verifique se T é transformação linear.
(b)(Vale 2.0 pontos).A aplicação T define um isomorfismo em \mathbb{R}^{2} .Sua solução deve ser feita detalhada- mente!.
(c)(Vale 3.0 pontos).Se possível apresente (T)_{B} ,em que B=\{(1,2),(1,4)\} .Sua solução deve ser feita detalhadamente!.
Passo 1
O enunciado nos dá a aplicação T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y) = (3x,\,y).
O conteúdo envolvido é transformação linear, isomorfismo de espaços vetoriais e cálculo da matriz de T numa base não-canônica. Vamos verificar linearidade, injetividade/sobrejetividade (para isomorfismo) e, finalmente, expressar T na base B=\{(1,2),\,(1,4)\}.
Passo 2
Para mostrar que T é linear, precisamos verificar duas propriedades para quaisquer (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in\mathbb{R}^2 e c\in\mathbb{R}:
Logo, T satisfaz as duas propriedades e é transformação linear.
Passo 3
Para T ser isomorfismo em \mathbb{R}^2, basta mostrar que é injetora (ou sobrejetora, pois domín-
io e contradomínio têm mesma dimensão finita).
– Kernel de T:
Só o vetor nulo vai para o nulo, então \ker T=\{(0,0)\} e T é injetora.
Como \dim\mathbb{R}^2=2 e \dim\ker T=0, pelo Teorema do Núcleo e Imagem, \dim\operatorname{Im}T=2, ou seja, T é sobrejetora. Portanto, T é isomorfismo.
Também podemos exibir explicitamente a inversa: dado (u,v)\in\mathbb{R}^2, queremos (x,y) tal que (3x,y)=(u,v). Daí x=u/3 e y=v, ou seja,
T^{-1}(u,v) = \Bigl(\tfrac{u}{3},\,v\Bigr).
Passo 4
Vamos achar a matriz de T\) na base \(B=\{v_1=(1,2),\,v_2=(1,4)\}\).
1. Calcule \(T(v_1)\):
\[T(1,2) = (3\cdot1,\,2) = (3,2).
Expressamos (3,2) como combinação de v_1 e v_2:
a\,(1,2) + b\,(1,4) = (3,2).
Isso dá o sistema
\begin{cases} a + b = 3,\\\\ 2a + 4b = 2. \end{cases}
Da segunda equação a+2b=1\]. Subtraindo da primeira obtemos \[-b=2, logo b=-2 e a=5. Portanto
[T(v_1)]_B = \begin{pmatrix}5\\\ -2\end{pmatrix}.
Calcule T(v_2):
T(1,4) = (3,4).
Queremos c,d tais que
c\,(1,2) + d\,(1,4) = (3,4),
ou seja
\begin{cases} c + d = 3,\\\\ 2c + 4d = 4. \end{cases}
Da segunda equação c+2d=2\]. Subtraindo da primeira vem \(-d=1, logo d=-1 e c=4. Assim
[T(v_2)]_B = \begin{pmatrix}4\\\ -1\end{pmatrix}.
Montamos a matriz de T em B tomando essas coordenadas como colunas:
(a) T é linear, pois preserva soma e produto por escalar.
(b) T é isomorfismo em \mathbb{R}^2 porque \ker T=\{0\} (logo injetora) e, assim, sobrejetora; além disso