Questão 9. (2pt) Considere a sequência \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty} definida recursivamente por:
a_{1}=1, \quad a_{n+1}=\sqrt{a_{n}+2}, \quad n \geq 1 .
Mostre que:
(a) 0<a_{n}<2, para todo n \in \mathbb{N}[ Vale 0,5 \mathrm{pt}].
(b) A sequência é crescente [Vale 1pt].
(c) Podemos concluir que a sequência converge? Se sim, justifique e calcule o seu limite. [Vale 0,5pt]
RASCUNHO

Passo 1

O enunciado define a sequência \bigl(a_{n}\bigr)_{n=1}^{\infty} por
a_{1}=1,\quad a_{n+1}=\sqrt{a_{n}+2}\quad(n\ge1).
O que vamos precisar para resolver é:
– Provar por indução que 0<a_{n}<2 para todo n.
– Mostrar que a_{n+1}\ge a_{n}, isto é, que a sequência é crescente.
– Usar o Teorema do valor limite para sequências monótonas e limitadas e, então, achar o limite resolvendo L=\sqrt{L+2}.

Passo 2

Prova por indução de que 0<a_{n}<2.
Base n=1: a_{1}=1, logo 0<1<2.
Hipótese de indução: suponha 0<a_{k}<2.
Passo indutivo:
– Como a_{k}>0, tem-se
a_{k+1}=\sqrt{a_{k}+2}>0.
– Como a_{k}<2,
a_{k+1}=\sqrt{a_{k}+2}<\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2.
Portanto, 0<a_{k+1}<2. Isso encerra a indução.

Passo 3

Mostrar que \bigl(a_{n}\bigr) é crescente, isto é, a_{n+1}\ge a_{n}.
Como ambos são positivos, comparar quadrados é equivalente:
a_{n+1}\ge a_{n} \quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{a_{n}+2}\ge a_{n} \quad\Longleftrightarrow\quad a_{n}+2\ge a_{n}^{2}.
Reescrevendo,
a_{n}^{2}-a_{n}-2\le0.
O polinômio t^{2}-t-2 fatora como (t-2)(t+1), que é não positivo em [-1,2]. Mas já vimos no passo anterior que 0<a_{n}<2, logo a_{n}\in[-1,2] e
a_{n}^{2}-a_{n}-2\le0 \;\Longrightarrow\; \sqrt{a_{n}+2}\ge a_{n} \;\Longrightarrow\; a_{n+1}\ge a_{n}.

Passo 4

Como \bigl(a_{n}\bigr) é crescente e limitada superiormente por 2, pelo Teorema de convergência de sequências monótonas ela converge. Seja
\lim_{n\to\infty}a_{n}=L.
Pela definição recursiva e continuidade da raiz quadrada, toma-se limite em ambos os lados de
a_{n+1}=\sqrt{a_{n}+2}
e obtém-se L=\sqrt{L+2}. Elevando ao quadrado,
L^{2}=L+2 \quad\Longrightarrow\quad L^{2}-L-2=0 \quad\Longrightarrow\quad L\in\{-1,2\}.
Como todos os a_{n} são positivos, descarta-se L=-1 e fica L=2.

Resposta

(a) Para todo n, 0<a_{n}<2.
(b) A sequência é crescente, isto é, a_{n+1}\ge a_{n}.
(c) Sim. Pelo Teorema de sequências monótonas e limitadas, ela converge, e o limite é 2.

Exercícios relacionados