Questão 9. (2pt) Considere a sequência
definida recursivamente por:
Mostre que:
(a)
, para todo
Vale
.
(b) A sequência é crescente [Vale 1pt].
(c) Podemos concluir que a sequência converge? Se sim, justifique e calcule o seu limite. [Vale 0,5pt]
RASCUNHO
(a)
(b) A sequência é crescente [Vale 1pt].
(c) Podemos concluir que a sequência converge? Se sim, justifique e calcule o seu limite. [Vale 0,5pt]
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
O que vamos precisar para resolver é:
– Provar por indução que para todo
.
– Mostrar que , isto é, que a sequência é crescente.
– Usar o Teorema do valor limite para sequências monótonas e limitadas e, então, achar o limite resolvendo .
– Provar por indução que
– Mostrar que
– Usar o Teorema do valor limite para sequências monótonas e limitadas e, então, achar o limite resolvendo
Passo 2
Prova por indução de que
.
Base :
, logo
.
Hipótese de indução: suponha .
Passo indutivo:
– Como , tem-se
Base
Hipótese de indução: suponha
Passo indutivo:
– Como
– Como
,
Portanto,
. Isso encerra a indução.
Passo 3
Mostrar que
é crescente, isto é,
.
Como ambos são positivos, comparar quadrados é equivalente:
Como ambos são positivos, comparar quadrados é equivalente:
Reescrevendo,
O polinômio
fatora como
, que é não positivo em
. Mas já vimos no passo anterior que
, logo
e
Passo 4
Como
é crescente e limitada superiormente por
, pelo Teorema de convergência de sequências monótonas ela converge. Seja
Pela definição recursiva e continuidade da raiz quadrada, toma-se limite em ambos os lados de
e obtém-se
Elevando ao quadrado,
Como todos os
são positivos, descarta-se
e fica
Resposta
(a) Para todo
,
.
(b) A sequência é crescente, isto é, .
(c) Sim. Pelo Teorema de sequências monótonas e limitadas, ela converge, e o limite é .
(b) A sequência é crescente, isto é,
(c) Sim. Pelo Teorema de sequências monótonas e limitadas, ela converge, e o limite é