Questão 5. Dada a sequência \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty} definida por a_{n}=\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{3 n}}{e^{n}}, qual é o valor de \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} ?
A Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
B Esta sequência converge para e.
C Esta sequência diverge para \infty.
D A sequência a_{n} converge para e^{3}.
  • Esta sequência converge para \frac{1}{e}.
Esta sequência converge para 0.

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_{n} = \frac{\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{3n}}{e^{n}}
e pede o valor de \lim_{n\to\infty}a_{n}. Para resolver, vamos usar propriedades de logaritmo, exponencial e a expansão em série de Taylor de \ln(1+x).

Passo 2

Escrevemos a_{n} em termos de exponencial e logaritmo:
a_{n} = \exp\bigl(\ln\bigl((1+\tfrac{1}{n})^{3n}\bigr) - \ln(e^{n})\bigr) = \exp\bigl(3n\,\ln(1+\tfrac{1}{n}) - n\bigr).

Passo 3

Usamos a expansão em série de Taylor de \ln(1+x) para x=\tfrac{1}{n}:
\ln(1+\tfrac{1}{n}) = \tfrac{1}{n} - \tfrac{1}{2n^{2}} + O\bigl(\tfrac{1}{n^{3}}\bigr).
Multiplicando por 3n
3n\,\ln(1+\tfrac{1}{n}) = 3n\Bigl(\tfrac{1}{n} - \tfrac{1}{2n^{2}} + O(\tfrac{1}{n^{3}})\Bigr) = 3 - \tfrac{3}{2n} + O\bigl(\tfrac{1}{n^{2}}\bigr).

Passo 4

Substituindo na expressão do passo anterior, o expoente de \exp fica
3n\,\ln(1+\tfrac{1}{n}) - n = \bigl(3 - \tfrac{3}{2n} + O(\tfrac{1}{n^{2}})\bigr) - n = -\,n + 3 - \tfrac{3}{2n} + O\bigl(\tfrac{1}{n^{2}}\bigr).
Como n\to\infty, o termo dominante é -n, que tende a -\infty. Logo
a_{n} = \exp\bigl(-n + 3 - \tfrac{3}{2n} + \cdots\bigr) \longrightarrow 0.

Passo 5

Concluímos que \lim_{n\to\infty}a_{n}=0. Nenhuma das alternativas B, C ou D diz “converge para 0”, então a única opção correta é a alternativa A.

Resposta

A Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.

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